线性代数笔记（一）群环域的概念

本文对群、环、域三种代数结构的基本概念进行了简单梳理，以辅助理解《高等代数》中一元多项式环，更加深入的讨论代数结构要等到以后学群论了。

群 (Group)

群的定义

群 $(G,\cdot)$ 是由集合 $G$ 和二元运算 $\cdot$ 构成的，符合群公理的数学结构。其中，二元运算 $\cdot$ 结合任何两个元素 $a$ 和 $b$ 而形成另一个元素，记为 $a·b$ ，符号 $\cdot$ 是具体的运算，比如整数加法。

群公理包含以下四条性质：

1. 封闭性：对于所有 $G$ 中 $a,b$ ，运算 $a·b$ 的结果也在 $G$ 中；
2. 结合律：对于所有 $G$ 中的 $a,b$ 和 $c$，等式 $(a \cdot b) \cdot c=a \cdot (b \cdot c)$ 成立；
3. 单位元：存在 $G$ 中的一个元素 $e$ ，使得对于所有 $G$ 中的元素 $a$ ，总有等式 $e \cdot a=a \cdot e=a$ 成立，单位元又称幺元；
4. 逆元：对于每个 $G$ 中的 $a$，存在 $G$ 中的一个元素 $b$ 使得总有 $a \cdot b=b \cdot a=e$，此处 $e$ 为单位元；$a$ 的逆元记作 $a^{-1}$．

群运算的次序很重要，把元素 $a$ 与元素 $b$ 结合，所得到的结果不一定与把元素 $b$ 与元素 $a$ 结合相同；亦即交换律 $a \cdot b=b \cdot a$ 不一定恒成立。满足交换律的群称为交换群或阿贝尔群。

群的判别法

考虑一个非空集合 $(G,\cdot)$，对于所有的 $a,b \in G$，若有 $a \cdot b^{-1} \in G$，则 $(G,\cdot)$ 是一个群。

特殊群

• 交换群：在群公理的基础上，满足交换律 $a \cdot b=b \cdot a$ 即为交换群/阿贝尔群。典型的例子是整数加法群 $(\mathbb{Z}, +)$ 。
• 半群：在群公理的基础上去除单位元和逆元条件，仅保持封闭性和结合律。即在集合 $S$ 上定义运算 $\circ$，且 $\forall a,b,c \in S$ ，有 $(a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)$，则 $(S, \circ)$ 为半群．典型的例子是 $(\mathbb{Z}^+, +)$ 。
• 幺半群：在半群的基础上存在单位元，即存在 $e$，使 $\forall a \in S$，有 $e \cdot a=a \cdot e=a$ 。典型的例子是 $(\mathbb{N}, +)$ ，其单位元为 $0$ 。
• 交换半群：在半群的基础上满足交换律。

群的性质

1. 单位元是唯一的
2. 任意一个元素的逆元是唯一的
3. 对于 $\forall a,b \in G$，方程 $ax=b$ 和 $ya=b$ 在 $G$ 中都有解
4. $G$ 满足消去律，即 $\forall a,b,c \in G$，若 $ab=ac$，则有 $b=c$ ；若 $ba=ca$，也有 $b=c$ 。即同时包含左消去和右消去。

环 (Ring)

环的定义

环 $(R,+,\cdot)$是由集合 $R$ 和定义于其上的两种二元运算 $+$ 和 $\cdot$ 所构成的，符合如下性质的代数结构。

1. $(R, +)$ 形成一个交换群，其单位元称为零元，记作 $0_R$ 或 $0$，即

   • $(R, +)$ 封闭

   • $(a+b)+c=a+(b+c)$

   • $a+b=b+a$

   • $a+0_R=a=0_R+a$

   • $\forall a \in R$，存在$-a \in R$，使得 $a+(-a)=(-a)+a=0_R$

2. $(R, \cdot)$ 形成一个半群，即：

   • $(R, \cdot)$ 封闭

   • $(a \cdot b) \cdot c=a \cdot (b \cdot c)$

3. 对 $+$ 满足分配律，即：

   • $a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c$

   • $(a+b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$

/* 两种二元运算常被称为加法和乘法，但并不代表是一般所说的加法和乘法 */

特殊的环

• 交换环：若环的乘法 $\cdot$ 满足交换律，则环称为交换环。此时 $(R, \cdot)$ 形成一个交换半群。
• 幺环：若环的乘法 $\cdot$ 存在单位元 $1_R$ 或 $1$，则称环为幺环。此时 $(R, \cdot)$ 形成一个幺半群。
• 除环：若非零环存在单位元，且环的每个非零元对乘法 $\cdot$ 都可逆，则称环为除环，并将 $a$ 的乘法逆元记为 $a^{-1}$。此时定义了除法 $\div$ ，即 $a \div b = ab^{-1}$。除环不一定是交换环，其典型例子为四元数环。

环的性质

1. 零元乘任意元素仍为零元，即 $0_R a = a 0_R = 0_R$

   /* 这就是为什么加法群的单位元反而要命名为零元 */

   Proof

   由加法群单位元定义与分配律

   $$0a = (0+0)a = 0a+0a$$

   两边同时加上 $0a$ 的负元 $-0a$，则有

   $$0a + (-0a) = 0a + 0a - 0a = 0a$$

   即 $0=0a$

2. 环 $R$ 上可定义减法 $a-b:=a + (-b)$，并称 $-a$ 为 $a$ 的负元。

3. $\forall a,b,c \in R$，有 $(-a) \cdot b = a \cdot (-b) = -(a \cdot b)$

   Proof

   先证第一个等式

   $$(-a) \cdot b =(-a) \cdot b + a\cdot b-a\cdot b$$

   对前两项应用分配律，则

   $$(-a) \cdot b =(-a+a)\cdot b -a\cdot b=-a\cdot b$$

   $a \cdot (-b)$ 同理易证

零因子

定义：一个环的一个非零元素 $a$ 是一个左零因子 (右零因子)，当且仅当存在一个非零元素 $b$，使得 $ab=0 \, (ba=0)$。左、右零因子统称为零因子。

由环的性质1，零元 $0$ 显然是零因子，称 $0$ 是平凡的零因子。

有单位元的交换环 $R$，如果没有非平凡的零因子，则称 $R$ 是一个整环。

$\mathbb{Z}, K,K[x]$ 是整环；$2\mathbb{Z}$ 不是整环，因为它没有单位元；$M_n(K)$ 不是整环，因为它不满足交换律，且有非平凡的零因子。

Proof

下证：$M_n(K)$ 中所有非零奇异矩阵 $A$ 都可作为非平凡的零因子。

$A$ 是非平凡零因子 $\Leftrightarrow$ $\exist X \neq O, AX=O$

$A$ 是非零奇异矩阵 $\Leftrightarrow$ $\text{rank} A < n$ $\Leftrightarrow$ $A\boldsymbol{x}= \boldsymbol{0}$ 有非零解

取 $A\boldsymbol{x}= \boldsymbol{0}$ 的一个非零解 $\boldsymbol{x}_\boldsymbol{0}$，作为 $X$ 的 $n$ 个列向量，得证

域 (Field)

域的定义

定义1：域是交换性除环。

定义2：域是一种交换环 $(F, +, \cdot)$，当中加法单位元 $0$ 不等于乘法单位元 $1$ ，且所有非零元素有乘法逆元。

/* 其中加法单位元不等于乘法单位元的要求排除了平凡的只由一个元素组成的域。 */

域的性质

若 $ab=0$，则 $a=0$ 或 $b=0$

Proof

用反证法，假设 $a\neq 0$ 且 $b \neq 0$ ，由域的定义，存在乘法逆元 $a^{-1}$，于是

$$a^{-1} a b = a^{-1}0=0$$

由结合律，有

$$0=a^{-1}ab=(a^{-1}a)b=b$$

与 $b \ne 0$ 矛盾，原命题成立

数域

定义1：数域是复数域 $\mathbb{C}$ 的子域

定义2：设复数域的一个子集 $K$ 包含 $0$ 与 $1$ ，并且 $K$ 中任两个数的和、差、乘积，以及除数非 $0$ 的商都仍在 $K$ 中，则称 $K$ 是一个数域。