电动力学笔记（一）矢量分析之符号法
fengxiaot Lv4
  2021-08-01 20:52:33 2021-08-01 20:52  

电动力学的数学基础之一是矢量分析。本文介绍推导矢量分析公式的第一种方法——符号法。由于 ∇\nabla 算子同时具有矢量性和微分性，运算时二者共同作用，难以处理。符号法将 ∇\nabla 算子赋以下标以区分作用对象，体现其微分性，而后续运算则将之视为普通矢量正常处理。符号法计算简单，只要牢记规则便能迅速推导出矢量分析公式。


符号法作用规则

应用范围

含标量、矢量和并矢的表达式的矢量微分运算。如果表达式中出现张量，则代之以与之等效的并矢组合。

作用规则

  1. 矢量微分算符必须一一作用于表达式中的所有对象（微分性）

  2. 明确参与点乘或叉乘运算的双方，并在推导中维持该运算关系不变，遵循就近点乘和就近叉乘原则（矢量性）

    运算类型 互易性 例子
    标量乘法 可互易 φψ=ψφ\varphi\psi=\psi\varphi
    标量数乘 可互易可结合 φ(A⋅B)=(φA)⋅B\varphi (\bm{A} \cdot \bm{B})= (\varphi \bm{A}) \cdot \bm{B}
    矢量点乘 可互易 A⋅B=B⋅A\bm{A}\cdot\bm{B}=\bm{B}\cdot\bm{A}
    矢量叉乘 互易反号 A×B=B×A\bm{A}\times\bm{B}=\bm{B}\times\bm{A}
    矢量并合 不可互易 AB≠BA(AiBjeiej≠BiAjeiej)\bm{A}\bm{B}\neq\bm{B}\bm{A}\left(A_i B_j\bm{e}_i \bm{e}_j \neq B_i A_j\bm{e}_i \bm{e}_j\right)
    张量双点乘 可互易 AB:CD=(A⋅D)(B⋅C)=CD:AB\bm{A}\bm{B}:\bm{C}\bm{D} = (\bm{A} \cdot \bm{D})(\bm{B} \cdot \bm{C})=\bm{C}\bm{D}:\bm{A}\bm{B}

    梯度运算 ∇φ\nabla \varphi 可视为矢量微分算符 ∇\nabla 与标量对象 φ\varphi 的数乘

  3. 最终使得矢量微分算符领先并紧靠被作用对象

算例

推导 ∇×(A×B)\nabla \times (\bm{A} \times \bm{B})

欲推导公式

∇×(A×B)=(B⋅∇)A−(∇⋅A)B+(∇⋅B)A−(A⋅∇)B\nabla \times (\bm{A} \times \bm{B}) = (\bm{B} \cdot \nabla) \bm{A} - (\nabla \cdot \bm{A}) \bm{B} + (\nabla \cdot \bm{B}) \bm{A} - (\bm{A} \cdot \nabla) \bm{B}

根据作用规则 11 ，矢量微分算符必须一一作用于表达式中的所有对象，将 ∇\nabla 分别标记 ∇A\nabla_A 和 ∇B\nabla_B ，它们表示该算符只能作用在矢量 A\bm{A} 和 B\bm{B} 上，得到

∇×(A×B)=∇A×(A×B)+∇B×(A×B)\nabla \times (\bm{A} \times \bm{B}) = \nabla_A \times (\bm{A} \times \bm{B}) + \nabla_B \times (\bm{A} \times \bm{B})

接下来把 ∇A\nabla_A 当作普通矢量，利用公式 A×(B×C)=(A⋅C)B−(A⋅B)C\bm{A} \times(\bm{B} \times \bm{C})=(\bm{A} \cdot \bm{C}) \bm{B}-(\bm{A} \cdot \bm{B}) \bm{C} ，将第一项化成

∇A×(A×B)=(∇A⋅B)A−(∇A⋅A)B\nabla_A \times (\bm{A} \times \bm{B}) = \left (\nabla_A \cdot \bm{B} \right ) \bm{A} - \left (\nabla_A \cdot \bm{A} \right ) \bm{B}

此时 (∇A⋅B)A\left (\nabla_A \cdot \bm{B} \right ) \bm{A} 项中 ∇A\nabla_A 作用在了 B\bm{B} 上，因此根据作用规则 22 ，矢量点乘可以互易，将 ∇A⋅B\nabla_A \cdot \bm{B} 互易为 B⋅∇A\bm{B} \cdot \nabla_A ，便满足了作用规则 33 ，使得 ∇A\nabla_A 领先并紧靠 AA 。而 (∇A⋅A)B\left (\nabla_A \cdot \bm{A} \right ) \bm{B} 天然满足，无须操作。

于是上式化为

∇A×(A×B)=(B⋅∇A)A−(∇A⋅A)B\nabla_A \times (\bm{A} \times \bm{B})=\left (\bm{B} \cdot \nabla_A \right ) \bm{A} - \left (\nabla_A \cdot \bm{A} \right ) \bm{B}

此时所有的 ∇A\nabla_A 都满足了规则 33 ，可以去掉下标了，得到

∇A×(A×B)=(B⋅∇)A−(∇⋅A)B\nabla_A \times (\bm{A} \times \bm{B}) = \left (\bm{B} \cdot \nabla \right ) \bm{A} - \left (\nabla \cdot \bm{A} \right ) \bm{B}

同理，∇B×(A×B)\nabla_B \times (\bm{A} \times \bm{B}) 也用相同方法处理，便得到了上式

∇×(A×B)=(B⋅∇)A−(∇⋅A)B+(∇⋅B)A−(A⋅∇)B\nabla \times (\bm{A} \times \bm{B}) = (\bm{B} \cdot \nabla) \bm{A} - (\nabla \cdot \bm{A}) \bm{B} + (\nabla \cdot \bm{B}) \bm{A} - (\bm{A} \cdot \nabla) \bm{B}

推导 ∇×(φB)\nabla \times (\varphi \bm{B})

欲推导公式

∇×(φB)=∇φ×B+φ∇×B\nabla \times (\varphi \bm{B}) = \nabla\varphi \times\bm{B}+\varphi \nabla \times\bm{B}

根据作用规则 11 ，矢量微分算符必须一一作用于表达式中的所有对象，将 ∇\nabla 分别标记为 ∇φ\nabla_\varphi 和 ∇B\nabla_B ，得到

∇×(φB)=∇φ×(φB)+∇B×(φB)\nabla \times (\varphi \bm{B}) = \nabla_\varphi \times (\varphi \bm{B}) + \nabla_B \times (\varphi \bm{B})

对于第一项，由于 φ\varphi 是标量，因此可以任意移动，将其移动至 ∇φ\nabla_\varphi 之后，视作数乘 ∇φ\nabla_\varphi 即可，这样就化成了有意义的梯度运算，变为 ∇φφ×B\nabla_\varphi \varphi \times \bm{B} 。

对于第二项，由于 φ\varphi 是标量，因此可以任意移动，将其移动至 ∇B×B\nabla_B \times \bm{B} 之前，视作数乘 ∇B×B\nabla_B \times \bm{B} 即可，即变为 φ∇B×B\varphi \nabla_B \times \bm{B} 。

此时每一项都满足了作用规则 33 ，去掉下标，就得到最终的

∇×(φB)=∇φ×B+φ∇×B\nabla \times (\varphi \bm{B}) = \nabla\varphi \times\bm{B}+\varphi \nabla \times\bm{B}

推导 ∇⋅(A×B)\nabla \cdot (\bm{A} \times \bm{B})

欲推导公式

∇⋅(A×B)=B⋅(∇×A)−A⋅(∇×B)\nabla \cdot \left(\bm{A} \times \bm{B} \right) = \bm{B} \cdot (\nabla \times \bm{A}) - \bm{A} \cdot (\nabla \times \bm{B})

根据作用规则 11 ，矢量微分算符必须一一作用于表达式中的所有对象，将 ∇\nabla 分别标记为 ∇A\nabla_A 和 ∇B\nabla_B ，得到

∇⋅(A×B)=∇A⋅(A×B)+∇B⋅(A×B)\nabla \cdot \left(\bm{A} \times \bm{B} \right) = \nabla_A \cdot \left(\bm{A} \times \bm{B} \right) + \nabla_B \cdot \left(\bm{A} \times \bm{B} \right)

应用三重积公式 A⋅(B×C)=B⋅(C×A)=C⋅(A×B)\bm{A} \cdot(\bm{B} \times \bm{C})=\bm{B} \cdot(\bm{C} \times \bm{A})=\bm{C} \cdot(\bm{A} \times \bm{B})

可以化成

∇⋅(A×B)=∇A⋅(A×B)+∇B⋅(A×B)=B⋅(∇A×A)+A⋅(B×∇B)\begin{aligned} \nabla \cdot \left(\bm{A} \times \bm{B} \right) &= \nabla_A \cdot \left(\bm{A} \times \bm{B} \right) + \nabla_B \cdot \left(\bm{A} \times \bm{B} \right) \\ &= \bm{B} \cdot (\nabla_A \times \bm{A}) + \bm{A} \cdot (\bm{B} \times \nabla_B) \end{aligned}

后一项需要互易，由于矢量叉乘互易反号，因此需要加一个负号，得到

∇⋅(A×B)=B⋅(∇A×A)−A⋅(∇B×B)\nabla \cdot \left(\bm{A} \times \bm{B} \right)=\bm{B} \cdot (\nabla_A \times \bm{A}) - \bm{A} \cdot (\nabla_B \times \bm{B})

验证满足作用规则 33 ，去掉 ∇\nabla 算子的下标即可

∇⋅(A×B)=B⋅(∇×A)−A⋅(∇×B)\nabla \cdot \left(\bm{A} \times \bm{B} \right) = \bm{B} \cdot (\nabla \times \bm{A}) - \bm{A} \cdot (\nabla \times \bm{B})

推导 ∇(A⋅B)\nabla\left( \bm{A} \cdot \bm{B} \right)

欲推导公式

∇(A⋅B)=B×(∇×A)+(B⋅∇)A+A×(∇×B)+(A⋅∇)B\nabla(\bm{A} \cdot \bm{B}) = \bm{B} \times (\nabla \times \bm{A}) + (\bm{B} \cdot \nabla) \bm{A} + \bm{A} \times (\nabla \times \bm{B}) + (\bm{A} \cdot \nabla) \bm{B}

先根据作用规则 11 ，写为

∇(A⋅B)=∇A(A⋅B)+∇B(A⋅B)\nabla\left( \bm{A} \cdot \bm{B} \right) = \nabla_A \left( \bm{A} \cdot \bm{B} \right) + \nabla_B \left( \bm{A} \cdot \bm{B} \right)

作第一次试探。利用公式 A×(B×C)=(A⋅C)B−(A⋅B)C\bm{A} \times(\bm{B} \times \bm{C})=(\bm{A} \cdot \bm{C}) \bm{B}-(\bm{A} \cdot \bm{B}) \bm{C} ，变形得到

(A⋅C)B=A×(B×C)+(A⋅B)C(\bm{A} \cdot \bm{C}) \bm{B} = \bm{A} \times(\bm{B} \times \bm{C})+(\bm{A} \cdot \bm{B}) \bm{C}

于是

∇A(A⋅B)=A×(∇A×B)+(A⋅∇A)B\nabla_A(\bm{A} \cdot \bm{B}) = \bm{A} \times (\nabla_A \times \bm{B}) + (\bm{A} \cdot \nabla_A) \bm{B}

遇到了瓶颈，前一项无论怎样对易都无法出现 ∇A×A\nabla_A \times \bm{A} 来，后一项虽然可以化成 ∇A⋅A\nabla_A \cdot \bm{A} ，但和欲推导的公式中的任意一项都对不上。

考虑在变形前，先将 ∇A(A⋅B)\nabla_A (\bm{A}\cdot\bm{B}) 作对易 ∇A(B⋅A)\nabla_A (\bm{B} \cdot \bm{A}) ，然后再拆开，就得到

∇A(B⋅A)=B×(∇A×A)+(B⋅∇A)A\nabla_A (\bm{B} \cdot \bm{A}) = \bm{B} \times (\nabla_A \times \bm{A}) + (\bm{B} \cdot \nabla_A) \bm{A}

这样就成功了。

另一半 ∇B(A⋅B)\nabla_B \left( \bm{A} \cdot \bm{B} \right) 留给读者自证。推导过程和 ∇A(A⋅B)\nabla_A (\bm{A}\cdot\bm{B}) 是对称的。最后得到

∇(A⋅B)=B×(∇×A)+(B⋅∇)A+A×(∇×B)+(A⋅∇)B\nabla(\bm{A} \cdot \bm{B}) = \bm{B} \times (\nabla \times \bm{A}) + (\bm{B} \cdot \nabla) \bm{A} + \bm{A} \times (\nabla \times \bm{B}) + (\bm{A} \cdot \nabla) \bm{B}