线性代数讲义（一）行列式

2021年暑假，受仲英书院学辅邀请，我主持了三次线性代数沙龙，对象是工科专业的大学一年级学生。这是第一次沙龙的讲义，主题是行列式。一般的国内教材中，将行列式作为第一章，虽然其抽象程度较低的特点能协助学生从中学到大学进行有效过渡，但缺少引入和背景知识的介绍，容易让人一头雾水。即使是高等代数的教材中，对于逆序数的引入也缺少说明。希望这份讲义能起到补充作用。

行列式的历史

行列式的引入

行列式最早在1545年由意大利的卡当在求解二元一次方程组时引入。对于

$$\left\{\begin{matrix} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 = b_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 = b_2 \end{matrix}\right.$$

其解为

$$x_1 =\frac{b_1 a_{22}-b_2 a_{12}}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}},\quad x_2 =\frac{b_2 a_{11}-b_1 a_{21}}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}$$

可见当 $a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} \neq 0$ 时，方程组有唯一解；当 $a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} = 0$ 时，有可能无解，也有可能有无数解，这取决于系数是否于常数项对应成比例。

因此，$a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$ 是决定方程组解的情况的决定性因素。决定为 determine，其名词化便是 determinant，简写为 det 。现在我们知道，一个二阶矩阵的行列式定义为

$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$$

类似地，还可以定义更高阶矩阵的行列式。从线性方程组的消元操作不改变解的性质，即不改变行列式是否为 $0$，可以引出行列式的第二公理化定义。

行列式的第二公理化定义

设 $M_n(\mathbb{F})$ 为数域 $\mathbb{F}$ 上全体 $n$ 级矩阵的集合，满足下列性质的映射 $\det : M_n(\mathbb{F}) \mapsto \mathbb{F}$

1. 倍乘：$\det\left(\ldots, \lambda A_{i}, \ldots\right)=\lambda \det\left(\ldots, A_{i}, \ldots\right)$
2. 一行加到另一行：$\det \left(\ldots, A_{i}+A_{j}, \ldots, A_{j}, \ldots\right)= \det\left(\ldots, A_{i}, \ldots, A_{j}, \ldots\right)$
3. 正规化条件：$\det(I) = 1$

是唯一确定的，叫做矩阵 $A$ 的行列式，记作 $\det A$。

倍乘对应着将线性方程组中某一个方程乘一个系数 $\lambda$，一行加到另一行对应着消元操作。正规化条件是额外添加的条件。这也同时对应着矩阵的初等行变换。

行列式的第一公理化定义

设 $M_n(\mathbb{F})$ 为数域 $\mathbb{F}$ 上全体 $n$ 级矩阵的集合，满足下列性质的映射 $\det : M_n(\mathbb{F}) \mapsto \mathbb{F}$

1. 反对称性：$\det\left(\cdots, A_{i}, \cdots, A_{j}, \cdots\right)=-\det\left(\cdots, A_{j}, \cdots, A_{i}, \cdots\right)$
2. 多重线性：$\det\left(\ldots, a Y_{i}+b Z_{i}, \cdots\right)=a \det\left(\cdots, Y_{i}, \cdots\right)+b \det\left(\cdots, Z_{i}, \cdots\right)$
3. 正规化条件：$\det(I) = 1$

是唯一确定的，叫做矩阵 $A$ 的行列式，记作 $\det A$。

逆序数

基本概念

$1,2,3,\cdots,n$ 的一个全排列为一个 $n$ 元排列。

例如：$1,2,3$ 形成的 $3$ 元排列有 $123,132,213,231,312,321$。进一步很容易可以得到，$n$ 元排列的总数是 $n!$。

顺序定义为数字从小到大排列，对 $a_1, a_2,\cdots, a_n$，任取一对数 $a_i,a_j(i<j)$，如果 $a_i<a_j$，则称这一对数构成一个顺序。逆序定义为数字从大到小排列，对 $a_1, a_2,\cdots, a_n$，任取一对数 $a_i,a_j(i<j)$，如果 $a_i>a_j$，则称这一对数构成一个逆序。

一个排列中，逆序对的总数称为这个排列的逆序数，记作 $\tau$。逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列。

例如，$2431$ 的逆序数为 $4$，记作 $\tau(2431)=4$。其所有的逆序对为 $21,43,41,31$。

自然排列$123\cdots n$是一个偶排列，逆序数 $\tau(123\cdots n)$ 为 $0$。

把一个排列中的某一对数互换位置，其余数不动，此操作称为一个对换。

对换改变排列的奇偶性。任一 $n$ 元排列与排列 $123\cdots n$ 可经过一系列对换互变，并且所做对换的次数与这个 $n$ 元排列有相同的奇偶性。

例题

1. 如果 $n$ 元排列 $j_1 j_2 \cdots j_n$ 的逆序数为 $r$，求 $n$ 元排列 $j_n \cdots j_2 j_1$ 的逆序数。

   Proof

   构造顺序和逆序的双射即可证明。

2. 设在由 $1,2,\cdots,n$ 形成的 $n$ 元排列 $a_1 a_2 \cdots a_k b_1 b_2 \cdots b_{n-k}$ 中，

   $$a_1 < a_2 < \cdots < a_k , b_1 < b_2 < \cdots < b_{n-k}$$

   求排列 $a_1 a_2 \cdots a_k b_1 b_2 \cdots b_{n-k}$ 的逆序数。

   Proof

   在 $a_1$ 后面比 $a_1$ 小的数有 $a_1 - 1$ 个，在 $a_2$ 后面比 $a_2$ 小的数有 $a_2 - 1 -1 = a_2 -2$ 个（注意 $a_1<a_2$ ），依次类推，在 $a_i$ 后面比 $a_i$ 小的数有 $a_i - i$ 个，而在排列 $ b_1 b_2 \cdots b_{n-k}$ 中没有逆序，因此

   $$\begin{aligned} &\hspace{1.5em} \tau\left(a_1 a_2 \cdots a_k b_1 b_2 \cdots b_{n-k}\right) \\ &= (a_1 - 1) + (a_2 - 1) + \cdots + (a_k-k) \\ &= \sum_{i=1}^k a_i - \frac{k(k+1)}{2} \end{aligned}$$

行列式的逆序数定义

$n$ 级矩阵 $\bm{A}=(a_{ij})$ 的行列式定义为

$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{vmatrix} =\sum_{j_{1} j_{2} \cdots j_{n}}(-1)^{\tau\left(j_{1} j_{2} \cdots j_{n}\right)} a_{1 j_{1}} a_{2 j_{2}} \cdots a_{n j_{n}}$$

其中求和号 $\sum_{j_{1} j_{2} \cdots j_{n}}$ 是对所有 $n$ 元排列求和，也就是让列指标构成的排列 $j_{1} j_{2} \cdots j_{n}$ 取遍所有 $n$ 元排列。即，$n$ 阶行列式是 $n!$ 项的代数和，其中每一项都是取自不同行，不同列的 $n$ 个元素的乘积，再加上一个符号项。把这 $n$ 个元素按照行指标成自然顺序排好位置，当列指标构成的排列是偶排列时，此项带正号；是奇排列时，此项带负号。

如果行指标不成自然顺序排列，按照某个确定的行顺序 $i_1 i_2 \cdots i_n$，依次取不同列指标的元素。此时行列式的表达式变成

$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{vmatrix} =\sum_{j_{1} j_{2} \cdots j_{n}}(-1)^{\tau\left(i_{1} i_{2} \cdots i_{n}\right)+\tau\left(j_{1} j_{2} \cdots j_{n}\right)} a_{i_1 j_{1}} a_{i_2 j_{2}} \cdots a_{i_n j_{n}}$$

行列式的性质

行列式满足：

1. 行列式的反对称性，即交换某两行（列）的元素，行列式反号。
2. 行列式的多重线性，即任一行/列都具有线性。
3. 矩阵的转置与矩阵本身的行列式相等。
4. 把一行（列）的倍数加到另一行（列）上，行列式的值不变。
5. 行列式按第 $i$ 行展开式。
6. 若 $\bm{A},\bm{B}$ 都是 $n\times n$ 矩阵，求证：$\det(\bm{AB})=\det(\bm{A})\det(\bm{B})$。

Proof

性质1的证明利用逆序数对换反号即可。性质2利用乘法分配律。性质3利用公式中行列指标的对称性。性质4先利用乘法分配律，再利用反对称性，对换两元素相同行的行指标，得到分离出得来的项为0。性质5将行列式按照 $i123\cdots(i-1)(i+1)\cdots n$ 的行指标展开即可。

对于性质6，注意到 $\bm{AB}$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素

$$(\bm{AB})_{ij} = \sum_{k=1}^n A_{ik}B_{kj}$$

因此有

$$\begin{aligned} \det(\bm{A})\det(\bm{B}) &=\sum_{j_{1} j_{2} \cdots j_{n}}(-1)^{\tau\left(j_{1} j_{2} \cdots j_{n}\right)} a_{1 j_{1}} a_{2 j_{2}} \cdots a_{n j_{n}} \det(B) \\ &=\sum_{j_{1} j_{2} \cdots j_{n}}(-1)^{\tau\left(j_{1} j_{2} \cdots j_{n}\right)} a_{1 j_{1}} a_{2 j_{2}} \cdots a_{n j_{n}} \sum_{k_{1} k_{2} \cdots k_{n}}(-1)^{\tau\left(j_{1} j_{2} \cdots j_{n}\right)+\tau\left(k_{1} k_{2} \cdots k_{n}\right)} \\ &\qquad b_{j_1 k_{1}} b_{j_2 k_{2}} \cdots b_{j_n k_{n}} \\ &= \sum_{k_{1} k_{2} \cdots k_{n}} \left(\sum_{j_{1} j_{2} \cdots j_{n}}(-1)^{\tau\left(k_{1} k_{2} \cdots k_{n}\right)} a_{1 j_{1}} a_{2 j_{2}} \cdots a_{n j_{n}} b_{j_1 k_{1}} b_{j_2 k_{2}} \cdots b_{j_n k_{n}} \right) \\ &= \sum_{k_{1} k_{2} \cdots k_{n}} (-1)^{\tau\left(k_{1} k_{2} \cdots k_{n}\right)} (\bm{AB})_{1 k_1} (\bm{AB})_{2 k_2} \cdots (\bm{AB})_{n k_n} \\ &= \det(\bm{AB}) \end{aligned}$$

行列式按多行/列展开

$n$ 级矩阵 $\bm{A}=(a_{ij})$ 中，取定第 $i_1,i_2,\cdots,i_k$ 行 $(1\le k < n)$，其中 $i_1<i_2<\cdots<i_k$，则 $\det \bm{A}$ 等于这 $k$ 行元素形成的所有 $k$ 阶子式与它们自己的代数余子式乘积之和，即

$$|\boldsymbol{A}|=\sum_{1 \leqslant j_{1}<\cdots<j_{k} \leqslant n} \boldsymbol{A} \begin{pmatrix} i_{1}, \cdots, i_{k} \\ j_{1}, \cdots, j_{k} \end{pmatrix} (-1)^{\left(i_{1}+\cdots+i_{k}\right)+\left(j_{1}+\cdots+j_{k}\right)} \boldsymbol{A} \begin{pmatrix} i_{1}^{\prime}, \cdots, i_{n-k}^{\prime} \\ j_{1}^{\prime}, \cdots, j_{n-k}^{\prime} \end{pmatrix}$$

行列式按 $k$ 行展开又称为Laplace定理。

行列式的几何意义

几何意义

矩阵的行列式表示矩阵对应的线性变换对空间的伸缩率。
矩阵的行列式表示列向量张成的平行多面体的有向体积。

积性

下面利用行列式的几何意义说明 $\det(\bm{AB})=\det(\bm{A})\det(\bm{B})$。

矩阵 $\bm{AB}$ 对应的线性变换即为先用 $\bm{B}$ 作用，在用 $\bm{A}$ 作用。对空间的总伸缩率等于两次伸缩率的乘积。

Hadamard不等式

对 $n$ 阶方阵 $\bm{A} = \begin{bmatrix} \bm{\alpha}_1 & \bm{\alpha}_2 & \cdots & \bm{\alpha}_n\end{bmatrix}$ ，有 $\lvert \det \bm{A} \rvert \le \Vert \bm{\alpha}_1 \Vert \Vert \bm{\alpha}_2 \Vert \cdots \Vert \bm{\alpha}_n \Vert$ 成立。

不等式左边表示向量 $\bm{\alpha}_1 ,\bm{\alpha}_2 ,\cdots, \bm{\alpha}_n$ 互有夹角构成的平行多面体的体积，不等式右边表示这些向量的模长两两正交构成的平行多面体的体积，后者显然大于前者，当且仅当向量组两两正交。

习题

1. 从代数方程解的角度说明 Vandermonde 行列式。

   Proof

   解：设 Vandermonde 行列式为

   $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & \ldots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & \ldots & x_{n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_{1}^{n-1} & x_{2}^{n-1} & \ldots & x_{n}^{n-1} \end{vmatrix}$$

   对于任意的 $i,j$ ，当 $x_i = x_j$ 时，行列式为 $0$，当 $x_i \neq x_j$ 时，行列式非 $0$，因此 $x_i - x_j$ 应当是 Vandermonde 行列式的一个因式。

2. 假设 $\boldsymbol{A}$ 是一个对角矩阵 $\operatorname{diag}\left\{\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n \right\}$，求证：$\det(\exp(\boldsymbol{A})) = \exp(\operatorname{tr}(\boldsymbol{A}))$。

   Proof

   证明：由于 $\boldsymbol{A}$ 是一个对角矩阵 $\operatorname{diag}\left\{\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n \right\}$，因此

   $$\boldsymbol{A}^k = \operatorname{diag}\left\{\lambda_1^k, \lambda_2^k, \cdots, \lambda_n^k \right\}$$

   于是

   $$\begin{aligned} \exp(\boldsymbol{A}) &=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\boldsymbol{A}^k}{k!} \\ &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} \operatorname{diag}\left\{\lambda_1^k, \lambda_2^k, \cdots, \lambda_n^k \right\} \\ &= \operatorname{diag}\left\{\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}\lambda_1^k, \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}\lambda_2^k, \cdots, \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}\lambda_n^k \right\} \\ &= \operatorname{diag}\left\{\mathrm{e}^{\lambda_1}, \mathrm{e}^{\lambda_2}, \cdots, \mathrm{e}^{\lambda_n} \right\} \end{aligned}$$

   因此 $\det(\exp(\boldsymbol{A})) = \exp(\operatorname{tr}(\boldsymbol{A}))$。

   这一结论还可以推广至任意可对角化的矩阵。