广义相对论笔记（二）微分流形简介

这篇文章是微分流形简介，主要目标是为广义相对论的学习服务。参考的教材为梁灿彬的《微分几何与广义相对论》和梅加强的《流形与几何初步》，分别是物理系和数学系的教材。这篇文章写作时，惊闻梁灿彬老师去世，一时间百感交集。沉痛悼念之余，希望能把知识传递下去，不负梁老师的教学精神。

流形的定义

微分流形的定义

设 $M$ 是具有 $A_2$ 和 $T_2$ 性质的拓扑空间。如果存在 $M$ 的开覆盖 $\{U_\alpha\}_{\alpha \in \Gamma}$ 以及相应的连续映射族 $\varphi_\alpha : U_\alpha \to \mathbb{R}^n$ ，使得

1. $\varphi_\alpha : U_\alpha \to \varphi_\alpha(U_\alpha) \subset \mathbb{R}^n$ 为从 $U_\alpha$ 到欧氏空间开集 $\varphi_\alpha(U_\alpha)$ 上的同胚；

2. 当 $U_\alpha \cap U_\beta \neq \varnothing$ 时，如下的转换映射

   $$\begin{aligned} \varphi_{\beta} \circ \varphi_{\alpha}^{-1}: \mathbb{R}^n &\to \mathbb{R}^n \\ \varphi_{\alpha}\left(U_{\alpha} \cap U_{\beta}\right) &\mapsto \varphi_{\beta}\left(U_{\alpha} \cap U_{\beta}\right) \end{aligned}$$

   是 $C^r$ 映射，即 $r$ 阶导数连续。

则当 $r=0$ 时称 $M$ 为拓扑流形，当 $1\le r<\infty$ 时称 $M$ 为 $C^r$ 微分流形，当 $r = \infty$ 时称 $M$ 为光滑流形。

公式	定义
$\{U_\alpha\}$	流形 $M$ 的局部坐标覆盖
$(U_\alpha,\varphi_\alpha)$	局部坐标系 / 坐标卡
$U_\alpha$	局部坐标邻域
$\varphi_\alpha$	局部坐标映射
$p \in M$	流形上的点

设 $\varphi_\alpha(p) = \left[ x^1 (p),x^2 (p),\cdots, x^n(p) \right]$，称 $x^i: U_\alpha \to R$ 为局部坐标系 $(U_\alpha,\varphi_\alpha)$ 上的第 $i$ 个局部坐标函数，称 $\{x^i\}$ 为 $p$ 附近的局部坐标。若 $p \in U_\alpha \cap U_\beta$ ，则 $p$ 在局部坐标系 $(U_\alpha,\varphi_\alpha)$ 和 $(U_\beta,\varphi_\beta)$ 分别有一套局部坐标 $\{x^i\}$ 和 $\{x^{\prime i}\}$ ，称映射 $\varphi_{\beta} \circ \varphi_{\alpha}^{-1}$ 为坐标转换映射。若此坐标转换映射是 $C^r$ 的，则称 $(U_\alpha,\varphi_\alpha)$ 和 $(U_\beta,\varphi_\beta)$ 是相容的。

例：设 $M$ 为 $\mathbb{R}^n$ 带上标准拓扑，选择开覆盖 $U_1 = \mathbb{R}^n, \varphi_1 = \mathrm{id}$ 为恒等映射，则 $\mathbb{R}^n$ 用一个坐标域就覆盖了，称为平凡流形。

微分结构

微分结构 对于任何一个坐标卡 $(U_\alpha,\varphi_\alpha)$ ，均存在一个包含它的最大的局部坐标覆盖 $\mathscr{D}$ ，使得任何与 $\mathscr{D}$ 均相容的局部坐标系 $(U,\varphi)$ 都含于 $\mathscr{D}$ 之中。我们把这样的 $\mathscr{D}$ 称为拓扑流形 $M$ 的一个 $C^r$ 微分结构。

换言之，装备有 $C^r$ 微分结构的拓扑流形称为微分流形。一个拓扑流形可能能够装备多种微分结构，它们之间互不相容。

考虑标准拓扑空间 $\mathbb{R}$ ，装备 $(\R , \mathrm{id})$ 时成为平凡流形。再定义 $\varphi: \R \to \R, \varphi(x) = x^3$ ，则装备 $(\R , \varphi)$ 时又是一种微分流形 $M$。在同一个拓扑空间 $\mathbb{R}$ 上的两种微分结构 $(\R , \mathrm{id})$ 和 $(\R , \varphi)$ 互不相容。因为 $\varphi^{-1}(x) = \sqrt[3]{x}$ 的一阶导数在 $x=0$ 处发散。

微分同胚

Cr映射 设 $C^k$ 流形 $M$ 和 $N$ 分别有微分结构 $\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}$ 和 $\{(V_\beta,\psi_\beta)\}$ ，$f:M \to N$ 是映射，且满足

1. 任给 $p \in M$ 以及 $f(p) \in N$ 附近的局部坐标系 $(V,\psi)$ ，均存在 $p$ 附近的局部坐标系 $(U,\varphi)$ ，使得 $f(U) \subset V$ ；

2. 复合映射 $\psi \circ f \circ \varphi^{-1}: \varphi(U) \to \psi (V)$ 为 $C^r$ 映射，其中 $r \le k$ 。

则称 $f$ 为流形 $M,N$ 间的 $C^r$ 映射。

微分同胚 设流形 $M$ 和 $N$ 为 $C^r$ 微分流形，$f:M \to N$ 为同胚映射。若 $f$ 及 $f^{-1}$ 均为 $C^r$ 映射，则称 $f$ 为 $C^r$ 微分同胚映射，简称 $f$ 为微分同胚。

当我们不加申明的时候，光滑流形之间的微分同胚指的是光滑的微分同胚。我们不区分微分同胚的流形。特别地，在同一个拓扑流形上，如果两个微分结构定义出的微分流形是微分同胚的，则我们称这两个微分结构等价，我们不区分等价的微分结构。

我们仍然用微分结构一节中的例子理清概念辨析区别。我们将装备 $(\R , \mathrm{id})$ 的标准拓扑空间 $\mathbb{R}$ 记为流形 $M$ ，再定义 $\varphi: \R \to \R, \varphi(x) = x^3$ ，把装备 $(\R , \varphi)$ 的标准拓扑空间 $\mathbb{R}$ 记为流形 $N$ 。那么 $M$ 和 $N$ 存在一个微分同胚 $f: p \mapsto \sqrt[3]{p}$ 。

读者可能感到疑惑，微分同胚的映射不应当是光滑的吗？我们刚根据 $\sqrt[3]{x}$ 的 $C^1$ 不连续性判定微分结构 $(\R , \mathrm{id})$ 和 $(\R , \varphi)$ 互不相容，为何此处又成为了微分同胚呢？问题的关键在于，微分结构考察的是同一个底拓扑流形 $\mathbb{R}$ 上的不同坐标转换映射 $\mathrm{id},\varphi$ ，而微分同胚是两个不同底流形 $(\R , \mathrm{id})$ 和 $(\R , \varphi)$ 坐标卡之间的复合映射。微分同胚的 $C^r$ 性要求的是坐标转换复合映射的 $C^r$ 性，并非同胚映射本身的 $C^r$ 性。

如图所示，坐标转换映射 $\psi \circ f \circ \varphi^{-1}: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 为 $\psi \circ f \circ \varphi^{-1}: x \mapsto x$ ，此映射显然是 $C^\infty$ 的，因此是微分同胚。

定向

设 $M$ 为微分流形，如果存在 $M$ 的局部坐标覆盖 $\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}$ 使得当 $U_\alpha \cap U_\beta \neq \varnothing$ 时，$\operatorname{det} J\left(\varphi_{\beta} \circ \varphi_{\alpha}^{-1}\right)>0$ ，$J$ 为 Jacobi 矩阵，则称流形 $M$ 是可定向的，$\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}$ 为一个定向坐标覆盖。如果不存在定向坐标覆盖，则称流形 $M$ 是不可定向的。

切空间与余切空间

切空间

函数/标量场 映射 $f: M \to \R$ 称为 $M$ 上的函数或标量场。若 $f$ 为 $C^\infty$ 的，则称 $f$ 为光滑函数。$M$ 上全体光滑函数的集合记作 $C^\infty (M)$ 。

/* 注：这里 $f$ 是作为从流形 $M$ 到流形 $\mathbb{R}$ 的映射而存在的！ */

切向量 设 $p \in M$ ，如果映射 $X_{p}: C^{\infty}(M) \rightarrow \mathbb{R}$ 满足以下条件

1. $X_p$ 是线性的
2. $\forall f, g \in C^{\infty}(M)$，有Leibniz律 $X_{p}(f g)=f(p) X_{p} g+g(p) X_{p} f$

则称 $X_p$ 为 $M$ 在 $p$ 处的切向量。

切空间 切向量的全体组成的向量空间称为 $p$ 处的切空间，记为 $T_p(M)$ 。

根据定义，切向量作用在常值函数上为零。切向量作用在函数上就如同多元函数沿一个方向求方向导数。

切空间的基 设 $(U,\varphi)$ 为 $p$ 附近的局部坐标系，则标量场 $f: M \to \R$ 与 $\varphi:M \to \mathbb{R}^n$ 相结合自然诱导出一个多元函数

$$\begin{aligned} f \circ \varphi^{-1} : \mathbb{R}^n &\to \mathbb{R} \\ \varphi(p) &\mapsto f(p) \end{aligned}$$

正如多元函数的方向导数可以分解在梯度上，在 $p$ 处定义 $n$ 个切向量 $\left.\dfrac{\partial}{\partial x^{\mu}}\right|_{p}$如下

$$\left.\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}\right|_{p} f=\frac{\partial f \circ \varphi^{-1}}{\partial x^{\mu}}(\varphi(p))$$

数学上可以证明，有

$$X_{p}=\left.\sum_{\mu=1}^{n}\left(X_{p} x^{\mu}\right) \frac{\partial}{\partial x^{\mu}}\right|_{p}$$

其中 $X_{p} x^{\mu}$ 为 $X_p$ 作用在第 $\mu$ 个局部坐标函数 $x^\mu$ 上的值，局部坐标函数 $x^\mu$ 是从 $M$ 到 $\R$ 的映射。

因此切向量 $\left.\dfrac{\partial}{\partial x^{\mu}}\right|_{p}$ 是 $p$ 处切空间 $T_p(M)$ 的一组基，$p$ 处切空间是 $n$ 维的。

切丛

切丛 流形 $M$ 上各点 $p$ 的切空间的并集称为流形 $M$ 的切丛，记作 $TM$ ，即

$$T M=\bigcup_{p \in M} T_{p} M$$

或者说，$TM$ 就是 $M$ 上所有切向量组成的集合。

定义投影映射 $\pi: TM \to M$ 为

$$\begin{aligned} \pi: TM &\to M \\ X_p &\mapsto p \end{aligned}$$

则 $\pi$ 称为切丛的投影。

设 $(U,\varphi)$ 为 $M$ 的任一局部坐标系，定义一一映射 $\psi$ 为

$$\begin{aligned} \psi: \pi^{-1}(U)=\bigcup_{p \in U} T_{p} M & \rightarrow U \times \mathbb{R}^{n} \\ X_{p} & \mapsto\left(p, X_{p}\left(x^{1}\right), X_{p}\left(x^{2}\right), \cdots, X_{p}\left(x^{n}\right)\right) \end{aligned}$$

可以证明，$TM$ 是一个 $2n$ 维微分流形，$\left.\left\{\left(\pi^{-1}\left(U_{\alpha}\right),\left(\varphi_{\alpha}, \mathrm{id}\right) \circ \psi_{\alpha}\right)\right)\right\}$ 是它的一个局部坐标覆盖。局部坐标的前 $n$ 个是 $p$ 点的坐标，后 $n$ 个是 $p$ 处切向量在切空间基上的分量，即

$$\begin{aligned} \left(\varphi_{\alpha}, \mathrm{id}\right) \circ \psi_{\alpha}: \pi^{-1}(U) & \rightarrow \mathbb{R}^{2n} \\ X_p & \mapsto\left( x^1 (p),x^2 (p),\cdots, x^n(p), X_{p}\left(x^{1}\right), X_{p}\left(x^{2}\right), \cdots, X_{p} \left(x^{n}\right)\right) \end{aligned}$$

其中 $\varphi$ 是局部坐标转换映射，$\mathrm{id}$ 是恒等映射。

切向量场 设 $X : M \to TM$ 为 $C^r$ 映射，若 $\pi \circ X = \mathrm{id}_M$ 为 $M$ 上的恒等映射，则称 $X$ 为 $M$ 上的 $C^r$ 切向量场。

上述定义过于抽象，通俗来说，过流形 $M$ 上一点 $p$ 有无穷多个切向量，在这些切向量中指定其中的一个向量 $X$ ，和 $p$ 构成一一对应关系，就成为了流形 $M$ 上的切向量场。定义想表达的正是这一点。

流形 $M$ 上全体切向量场的集合记作 $\mathfrak{X}(M)$ ，也可记作 $\varGamma(TM)$ ，表示切丛的截面。

切向量场 $X$ 作用在函数 $f$ 上给出一个新函数 $Xf$ ，在任意一点 $p \in M$ 的函数值由下式规定

$$X f |_p = X_p f , \quad \forall p \in M$$

/* 注：$X$ 仍然是 $M$ 到 $TM$ 的映射！但作了此种规定后，$X$ 也可以看作是 $C^\infty(M)$ 到 $C^\infty(M)$ 的映射了。*/

函数 $f$ 也可以数乘在切向量场 $X$ 上，结果仍然是一个切向量场 $fX$ ，在任意一点 $p \in M$ 的切向量由下式规定

$$fX|_p = f(p) X_p , \quad \forall p \in M$$

余切向量与余切空间

余切空间

切映射 设 $f: M \to N$ 为微分流形之间的光滑映射，任给 $p \in M$ 处的切向量 $X_p$ ，定义 $f(p)$ 处的切向量 $f_{*p}(X_p)$ 如下

$$f_{*p} (X_p) g = X_p (g \circ f) \qquad \forall g \in C^\infty(N)$$

这样我们就定义了线性映射 $f_{*p} : T_p M \to T_{f(p)} N$ ，称为 $f$ 在 $p$ 处的切映射。

/* 注：这种定义方式有点像线性空间到双重对偶空间的典范同构 */

需要说明，$g \circ f$ 为 $M \to \mathbb{R}$ 上的映射，也即一个 $M$ 上的函数。因此 $X_p (g \circ f) \in \mathbb{R}$ 。

切微分/余切向量 特殊地，若取切映射中的 $N$ 为平凡流形 $\mathbb{R}$ ，则 $f_{*p} : T_p M \to T_{f(p)}\mathbb{R}$ ，而平凡流形 $\R$ 的切空间 $T_{f(p)}\mathbb{R}$ 与 $\mathbb{R}$ 本身自然等同，换句话说，$g$ 取作 $\mathrm{id}$ 。因此 $f_{*p}$ 实际上给出了任意 $M$ 上的函数 $f$ 在 $p$ 处的所谓「方向导数」，记作 $\mathrm{d} f |_p$ ，称为 $f$ 在 $p$ 处的切微分。

$$\begin{aligned} \mathrm{d} f|_p : T_p M &\to \R \\ X_p &\mapsto \mathrm{d} f |_p(X_p)=X_p ( \mathrm{id}\circ f) = X_p ( f) \end{aligned}$$

/* 注：这种定义方式就是线性空间到双重对偶空间的典范同构 */
更特殊地，取 $f$ 为 $M$ 上的坐标函数 $x_\alpha^i\,(i=1,2,\cdots,\dim M)$ ，则根据定义 $\mathrm{d} x_\alpha^i|_p \left( \left.\dfrac{\partial}{\partial x^j_{\alpha}}\right|_{p}\right) = \left.\dfrac{\partial x_\alpha^i}{\partial x^j_{\alpha}}\right|_{p} \equiv \delta^i_j$ 。读者将会看到，这给出了余切空间的对偶基。

余切空间 由于切微分/余切向量的作用方法被定义成 $X_p$ 的作用，因此 $X_p$ 作为切向量具有的线性性质，余切向量同样具有。从而所有余切向量构成余切空间 $T_p^* M$。因而余切空间的一种定义方式为

$$T_p^* M = \left\{ \mathrm{d}f_p \mid f \in C^\infty (M)\right\}$$

与此同时，$T_p^* M$ 也可以作为切空间 $T_p M$ 的对偶空间。$T_p^* M$ 中的元素都是 $T_p M \to \R$ 的映射，且 $\mathrm{d} x_\alpha^i|_p \left( \left.\dfrac{\partial}{\partial x^j_{\alpha}}\right|_{p}\right) = \left.\dfrac{\partial x_\alpha^i}{\partial x^j_{\alpha}}\right|_{p} \equiv \delta^i_j$ 给出了一组 $p$ 处余切空间的一组对偶基 $\mathrm{d} x_\alpha^i|_p \ (i=1,\cdots,n)$ 。因此余切空间也可以写作

$$T_p^* M = \operatorname{span} \{ \mathrm{d} x_\alpha^1|_p , \mathrm{d} x_\alpha^2|_p , \cdots, \mathrm{d} x_\alpha^n|_p\}$$

且 $T_p^* M$ 中的任一元素 $\omega(p)$ 可以表示成

$$\omega(p) = \sum_{i=1}^n a_i \mathrm{d} x_\alpha^i|_p$$

余切丛

余切丛 流形 $M$ 上各点 $p$ 的余切空间的并集称为流形 $M$ 的余切丛，同时也是切丛的对偶丛，即

$$T^* M=\bigcup_{p \in M} T_{p}^* M$$

$T^* M$ 的截面称为余切向量场。

向量丛与纤维丛

回顾切丛和余切丛的结构，尤其是微分同胚

$$\begin{aligned} \psi: \pi^{-1}(U)=\bigcup_{p \in U} T_{p} M & \rightarrow U \times \mathbb{R}^{n} \\ X_{p} & \mapsto\left(p, X_{p}\left(x^{1}\right), X_{p}\left(x^{2}\right), \cdots, X_{p}\left(x^{n}\right)\right) \end{aligned}$$

可以发现在流形 $M$ 的局部 $U$ 上，切丛同胚于流形 $U$ 和线性空间 $\mathbb{R}^n$ 的乘积空间。因此切丛的性质可以总结为

1. 切丛局部上是乘积空间，且乘积空间的第二个分量为线性空间
2. 切丛的局部坐标转换映射保持第二个分量的线性性

由此可以将这种微分流形进行推广，即向量丛和纤维丛。

向量丛

向量丛 设 $E,M$ 为微分流形， $\pi : E \to M$ 为光滑满射。如果存在 $M$ 的开覆盖 $\{U_\alpha\}$ 以及微分同胚 $\psi_{\alpha}: \pi^{-1}\left(U_{\alpha}\right) \rightarrow U_{\alpha} \times \mathbb{R}^{n}$ 满足下面的条件

1. $\psi\left(\pi^{-1}(p)\right)=\{p\} \times \mathbb{R}^{n}, \quad \forall p \in U_{\alpha}$

2. 当 $U_\alpha \cap U_\beta \neq \varnothing$ 时，存在光滑映射 $g_{\beta \alpha}: U_{\alpha} \bigcap U_{\beta} \rightarrow GL(n,\mathbb{R})$ ，使得

   $$\psi_{\beta} \circ \psi_{\alpha}^{-1}(p, v)=\left(p, g_{\beta \alpha}(p) v\right), \quad \forall p \in U_{\alpha} \cap U_{\beta}, v \in \mathbb{R}^{n}$$

则称 $E$ 为 $M$ 上的向量丛，$n$ 为向量丛的秩，$\pi$ 为丛投影，$E$ 和 $M$ 分别为总空间和底空间，$\psi_\alpha$ 称为局部平凡化，$\pi^{-1}(p)=E_{p} \cong \mathbb{R}^n$ 为 $p$ 处的纤维，$g_{\beta \alpha}$ 为连接函数。连接函数 $g_{\beta \alpha}$ 类似于坐标变换矩阵。

向量丛的截面/向量场 设 $E$ 为 $M$ 上的光滑向量丛，$\pi : E \to M$ 为丛投影。如果 $C^r$ 映射 $\sigma: M \to E$ 满足条件 $\pi \circ \sigma = \mathrm{id}_M$ ，即 $\sigma(p) \in \pi^{-1}(p)$ ，则称 $\sigma$ 为 $E$ 的一个 $C^r$ 截面，也叫向量场。

流形 $M$ 上向量丛 $E$ 的全体截面/流形 $M$ 上向量场的全体记作 $\varGamma(M;E)$ 。

纤维丛

纤维丛 设 $\pi : E \to M$ 为光滑满射，$F$ 为微分流形，$G$ 为光滑有效地作用在 $F$ 上的 Lie 群。如果存在 $M$ 的开覆盖 $\{U_\alpha\}_{\alpha \in \Gamma}$ 以及微分同胚 $\psi_{\alpha}: \pi^{-1}\left(U_{\alpha}\right) \rightarrow U_{\alpha} \times F$ 使得

1. $\psi\left(\pi^{-1}(p)\right)=\{p\} \times F, \quad \forall p \in U_{\alpha}$

2. 当 $U_\alpha \cap U_\beta \neq \varnothing$ 时，存在光滑映射 $g_{\beta \alpha}: U_{\alpha} \bigcap U_{\beta} \rightarrow G$ ，使得

   $$\psi_{\beta} \circ \psi_{\alpha}^{-1}(p, f)=\left(p, g_{\beta \alpha}(p) f\right), \quad \forall p \in U_{\alpha} \cap U_{\beta}, f \in F$$

则称 $E$ 为 $M$ 上的纤维丛，$\pi$ 为丛投影，$F$ 为纤维，$E$ 和 $M$ 分别为总空间和底空间，$G$ 为结构群，$\psi_\alpha$ 称为局部平凡化，$\pi^{-1}(p)=E_{p}$ 称为 $p$ 处的纤维，并与 $F$ 微分同胚，$g_{\beta \alpha}$ 为连接函数。

截面 设 $E$ 为 $M$ 上的纤维丛，$\pi : E \to M$ 为丛投影。如果 $C^r$ 映射 $\sigma: M \to E$ 满足条件 $\pi \circ \sigma = \mathrm{id}_M$ ，即 $\sigma(p) \in \pi^{-1}(p)$ ，则称 $\sigma$ 为 $E$ 的一个 $C^r$ 截面。

张量场与张量丛

定理：由场张量可以唯一确定张量场，由张量场也可以唯一确定场张量。