市面上有许多介绍Hamilton力学的书籍，无论它们来自于数学家还是物理学家。通常开篇就指出相空间是一个辛流形，接着讨论动力学过程如何用微分几何的语言描述，详细介绍如何从Lagrange力学恰当地变换到Hamilton力学，以及二者之间的联系的书籍却少有。本篇文章是关于如何从Lagrange力学下的位形流形过渡到Hamilton力学下的相流形的介绍，希望能架起这座桥桥梁。更细致深刻的讨论可以参看 Marsden 的 Introduction to Mechanics and Symmetry 及其中译版。
由于物理学的惯用符号和微分几何学中的惯用符号有冲突，为避免混淆，我们先作符号约定
物理量
符号
说明
位形流形
M M M 力学系统的状态空间
位形流形上的点
q q q q i : M → R q^i:M \to \mathbb{R} q i : M → R
切向量/广义速度
v = v i ∂ ∂ q i v=v^i \frac{\partial}{\partial q^i} v = v i ∂ q i ∂ v i v^i v i
余切向量/广义动量
p = p i d q i p=p_i \mathrm{d}q^i p = p i d q i p i p_i p i
切丛中的元素
( q , v ) ∈ T M (q,v) \in TM ( q , v ) ∈ T M 将 ( q , v ) (q,v) ( q , v ) ⨆ p ∈ M T p M \bigsqcup_{p \in M} T_{p} M ⨆ p ∈ M T p M
余切丛中的元素
( q , p ) ∈ T ∗ M (q,p) \in T^* M ( q , p ) ∈ T ∗ M 将 ( q , p ) (q,p) ( q , p ) ⨆ p ∈ M T p ∗ M \bigsqcup_{p \in M} T_p^* M ⨆ p ∈ M T p ∗ M
Lagrange量
L = L ( q , v ) L = L(q,v) L = L ( q , v ) Lagrange量是 T M TM T M R \mathbb{R} R
Hamilton量
H = H ( q , p ) H = H(q,p) H = H ( q , p ) Hamilton量是 T ∗ M T^* M T ∗ M R \mathbb{R} R
位形空间 一个力学系统可能处于的所有状态的空间称为位形空间。力学系统的状态可由一系列广义坐标 q i q^i q i ( i = 1 , ⋯ , n ) (i=1,\cdots,n) ( i = 1 , ⋯ , n ) M M M 位形流形 (configuration manifold) 。位形空间 M M M n = dim M n= \dim M n = dim M
拉格朗日力学系统 设流形 M M M T M TM T M L : T M → R L:TM \to \mathbb{R} L : T M → R γ : R → M \gamma: \mathbb{R} \to M γ : R → M
S [ γ ] = ∫ t 0 t 1 L ( γ , γ ˙ ) d t S[\gamma] = \int_{t_0}^{t_1} L(\gamma,\dot{\gamma}) \,\mathrm{d}t
S [ γ ] = ∫ t 0 t 1 L ( γ , γ ˙ ) d t
取极值，则称 L L L 拉格朗日量 ，S S S 作用量 ，γ \gamma γ
/* 注：γ ˙ \dot{\gamma} γ ˙
定理：拉格朗日力学系统中的运动轨迹 γ \gamma γ
∂ L ∂ q i − d d t ∂ L ∂ q ˙ i = 0 \frac{\partial L}{\partial q^i}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i} = 0
∂ q i ∂ L − d t d ∂ q ˙ i ∂ L = 0
其中 q i q^i q i q ˙ i \dot{q}^i q ˙ i ∂ γ ∂ t \frac{\partial \gamma}{\partial t} ∂ t ∂ γ ∂ ∂ q i \frac{\partial}{\partial q^i} ∂ q i ∂
需要说明的是，一般切丛 T M TM T M M M M q i q^i q i v i v^i v i T M TM T M R \mathbb{R} R L = L ( q 1 , ⋯ , q n , v 1 , ⋯ , v n ) L = L (q^1, \cdots,q^n,v^1,\cdots,v^n) L = L ( q 1 , ⋯ , q n , v 1 , ⋯ , v n ) C ∞ C^\infty C ∞ q ˙ i ∂ ∂ q i \dot{q}^i \frac{\partial}{\partial q^i} q ˙ i ∂ q i ∂ v i ∂ ∂ q i v^i \frac{\partial}{\partial q^i} v i ∂ q i ∂ L = L ( q 1 , ⋯ , q n , q ˙ 1 , ⋯ , q ˙ n ) L = L (q^1, \cdots,q^n,\dot{q}^1,\cdots,\dot{q}^n) L = L ( q 1 , ⋯ , q n , q ˙ 1 , ⋯ , q ˙ n )
理论力学中引入Hamilton量时，所作的勒让德变换通常写作
H ( q , p ) = ∑ p i q ˙ i − L ( q , q ˙ ) H(q,p) = \sum p_i \dot{q}^i - L(q,\dot{q})
H ( q , p ) = ∑ p i q ˙ i − L ( q , q ˙ )
也就是说，在某一个确定的位置 q q q q ˙ \dot{q} q ˙ L L L p = ∂ L ∂ q ˙ p=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} p = ∂ q ˙ ∂ L p p p H H H
纤维导数 给定 T M TM T M L ( q , v ) L(q,v) L ( q , v ) F L : T M → T ∗ M \mathbb{F}L:TM \to T^*M F L : T M → T ∗ M T q M T_q M T q M T q ∗ M T_q^*M T q ∗ M v ∈ T q M v \in T_q M v ∈ T q M v v v F L \mathbb{F}L F L F L ( q , v , ⋅ ) ∈ T q ∗ M \mathbb{F}L(q,v,\cdot) \in T_q^*M F L ( q , v , ⋅ ) ∈ T q ∗ M
F L ( q , v , ⋅ ) : T q M → R w ↦ F L ( q , v , w ) = d d t ∣ t = 0 L ( v + t w ) \begin{aligned}
\mathbb{F}L(q,v,\cdot) : T_qM &\to \mathbb{R} \\
w &\mapsto \mathbb{F}L(q,v,w)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigg|_{t=0} L(v+tw)
\end{aligned}
F L ( q , v , ⋅ ) : T q M w → R ↦ F L ( q , v , w ) = d t d ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ t = 0 L ( v + t w )
其中 w ∈ T q M w \in T_q M w ∈ T q M F L ( q , v , w ) \mathbb{F}L(q,v,w) F L ( q , v , w ) L L L T q M T_q M T q M v v v w w w 纤维导数 ，因此
F L : T M → T ∗ M ( q , v ) ↦ F L ( q , v , ⋅ ) = ( q , p ) \begin{aligned}
\mathbb{F}L:T M &\to T^*M \\
(q,v) &\mapsto \mathbb{F}L(q,v,\cdot)=(q,p)
\end{aligned}
F L : T M ( q , v ) → T ∗ M ↦ F L ( q , v , ⋅ ) = ( q , p )
/* 注：纤维导数类似于欧氏空间中的方向导数，取 M = R n M=\mathbb{R}^n M = R n F L ( q , v , w ) \mathbb{F}L(q,v,w) F L ( q , v , w ) ∂ L ∂ v ⋅ w \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{v}} \cdot \boldsymbol{w} ∂ v ∂ L ⋅ w
在局部坐标表示下，纤维导数有表达式
F L ( q , v , ⋅ ) = ( q i , ∂ L ∂ v i d q i ) \mathbb{F}L(q,v,\cdot) = (q^i,\frac{\partial L}{\partial v^i} \mathrm{d}q^i)
F L ( q , v , ⋅ ) = ( q i , ∂ v i ∂ L d q i )
若记 p i = ∂ L ∂ v i p_i=\frac{\partial L}{\partial v^i} p i = ∂ v i ∂ L L L L F L \mathbb{F}L F L
在能够定义勒让德变换之前，还有最后一步。由于 ( q , p ) (q,p) ( q , p ) ( q , v ) (q,v) ( q , v ) p i v i p_i v^i p i v i T ∗ M T^* M T ∗ M T ∗ ( T M ) T^*(TM) T ∗ ( T M ) ξ \xi ξ ξ ( q , p ) ∈ T ∗ ( T M ) \xi(q,p) \in T^*(TM) ξ ( q , p ) ∈ T ∗ ( T M ) ( q , v ) (q,v) ( q , v )
ξ : T ∗ M → lift H ∗ ( T ∗ M ) → F L − 1 T ∗ ( T M ) ( q i , p i ) ↦ ( ( q i , p i ) , p i d q i ) ↦ ( ( q i , v i ) , p i d q i ) \begin{gathered}
\xi:T^* M \xrightarrow{\text{lift}} H^*(T^*M) \xrightarrow{\mathbb{F}L^{-1}} T^* (TM) \\
(q^i,p_i) \mapsto ((q^i,p_i),p_i \mathrm{d}q^i) \mapsto ((q^i,v^i),p_i \mathrm{d}q^i)
\end{gathered}
ξ : T ∗ M lift H ∗ ( T ∗ M ) F L − 1 T ∗ ( T M ) ( q i , p i ) ↦ ( ( q i , p i ) , p i d q i ) ↦ ( ( q i , v i ) , p i d q i )
其中 l i f t \mathrm{lift} l i f t F L − 1 \mathbb{F}L^{-1} F L − 1 F L \mathbb{F}L F L F L − 1 \mathbb{F}L^{-1} F L − 1 ξ \xi ξ
/* 注：忘记水平提升的回去复习纤维丛理论！ */
勒让德变换 勒让德变换是从切丛上的函数 L L L H H H F L : ( q , v ) ↦ ( q , p ) \mathbb{F}L:(q,v) \mapsto (q,p) F L : ( q , v ) ↦ ( q , p )
H ( q , p ) = [ ξ ( q , p ) − L ] ∘ F L − 1 H(q,p) = \left[ \xi(q,p)-L \right] \circ\mathbb{F}L^{-1}
H ( q , p ) = [ ξ ( q , p ) − L ] ∘ F L − 1
函数 H ( q , p ) H(q,p) H ( q , p ) Hamilton量 ，流形 T ∗ M T^*M T ∗ M 相空间 或相流形 ，力学系统称为Hamilton力学系统 。
待更
辛流形 设 N N N dim N = 2 n \dim N=2n dim N = 2 n N N N 辛结构/辛形式 是 N N N ω \omega ω
d ω = 0 \mathrm{d}\omega=0 d ω = 0 ∀ η ∈ Γ ( T N ) , ω ( ξ , η ) = 0 ⟺ ξ = 0 \forall \eta \in \varGamma(TN),\omega(\xi,\eta)=0 \iff \xi=0 ∀ η ∈ Γ ( T N ) , ω ( ξ , η ) = 0 ⟺ ξ = 0
赋予了辛结构的流形被称为辛流形。
正则辛形式 在 2 n 2n 2 n N N N ( q i , p i ) (q^i,p_i) ( q i , p i ) i = 1 , ⋯ , n i=1,\cdots,n i = 1 , ⋯ , n ω \omega ω
ω = d p i ∧ d q i \omega = \mathrm{d} p_i \wedge \mathrm{d} q^i
ω = d p i ∧ d q i
