高等数学笔记（一）n维Euclid空间中点集

$n$ 维 Euclid 空间 $\mathbb{R}^n$ 中点集初步这一节介绍了许多新概念与新定义，本篇文章给出一些反例和例子以加深理解。

导集

概念回顾

1. 聚点：若 $\boldsymbol{a}$ 的任意去心邻域内都含有 $A$ 的点，则称 $\boldsymbol{a}$ 是 $A$ 的聚点。

   聚点：若 $\forall \delta >0$，都有 $\mathring{U}(a,\delta) \cap A \neq \varnothing$，则称 $\boldsymbol{a}$ 是 $A$ 的聚点。

   聚点：存在各项不同的数列 $\left\{ \boldsymbol{x}_k \right\} \in A$ ，使得 $\left\{ \boldsymbol{x}_k \right\} \rarr \boldsymbol{a}$，则称 $\boldsymbol{a}$ 是 $A$ 的聚点。

2. 导集：$A$ 的所有聚点构成的集合称为 $A$ 的导集，记作 $A'$。

3. 闭集：若 $A'\subseteq A$，则称 $A$ 为闭集。

   闭集：若 $\partial A \subseteq A$，则称 $A$ 为闭集。

例：导集比原集合基数小

考虑如图所示点集，由一个含边界椭圆与两个孤立点 $P,Q$ 组成。其导集中无 $P,Q$ 。

开集与闭集的交与并

定理回顾

1. 空集 $\varnothing$ 和全空间 $\mathbb{R}^n$ 是开集；
2. 任意多个开集的并是开集；
3. 有限多个开集的交是开集。
4. 空集 $\varnothing$ 和全空间 $\mathbb{R}^n$ 是闭集；
5. 任意多个闭集的交是闭集；
6. 有限多个闭集的并是闭集。

例：无限多个开集的交是闭集

设集合族 $A_n=\left( -\dfrac{1}{n}, \dfrac{1}{n}\right)$，则有

$$\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n = \{0\}$$

集合 $\{0\}$ 的导集为 $\varnothing \subseteq \{0\}$，因此 $\{0\}$ 为闭集。

例：无限多个闭集的并是开集

设集合族 $B_n=\left[\dfrac{1}{n}, \dfrac{n-1}{n}\right]$，则

$$\bigcup_{n=3}^{\infty} B_n =(0,1)$$

集合 $(0,1)$ 为开集。

区域

概念回顾

1. 开区域：连通开集。
2. 闭区域：开区域及其边界之并。

/* 闭区域并非连通闭集 */

例：连通闭集非闭区域

考虑 $A=\left\{ (x,y):x^2+y^2 \le 1\right\}$ 和 $B=\left\{ (x,y):(x-2)^2+y^2 \le 1\right\}$

两个点集都为闭集且通过点 $(1,0)$ 连通，但它们并非闭区域。因为去掉边界后，变为两个并不连通的开集 $\mathrm{int} A=\left\{ (x,y):x^2+y^2 < 1\right\}$ 与 $\mathrm{int} B=\left\{ (x,y):(x-2)^2+y^2 < 1\right\}$，不符合开区域的定义。