高等数学笔记（二）多元函数的连续可偏导可微性质的讨论

本文给出二元函数 $f(x,y)$ 在 $P(x_0,y_0)$ 连续，偏导数存在，各个方向的方向导数存在，可微及一阶偏导数连续，这五个条件之间的充分必要关系与相应的反例和直观理解，方便记忆。

方向导数存在不一定连续

直观上理解，任一方向的方向导数存在只保证了在该方向上作截面截得的的一元函数连续，但二元函数的连续要求任意路径。即 $f(x,y)$ 虽然在$y=kx,k \in \mathbb{R}$ ，即 $360\degree$ 地沿直线趋近于极限点时都连续，但对于一些复杂路径（例如 $y=x^2, y=x \ln x$ 等） 来趋近于极限点，方向导数存在并不能保证其连续。

下面举出一个反例

$$f(x,y)=\left\{\begin{matrix} \dfrac{x y^2}{x^2+y^4} &,x^2+y^2 \neq 0\\ 0 &, x^2+y^2 = 0 \end{matrix}\right.$$

它在 $(0,0)$ 处不连续，因为

$$\lim_{(x,y) \rarr (0,0)} \lim_{x=ky^2} \frac{x y^2}{x^2+y^4}=\lim_{y \rarr 0} \frac{k y^4}{(ky^2)^2+y^4} = \frac{k}{k^2+1}$$

/* 此处并非累次极限，只因公式渲染引擎对 \substack 支持不佳，下同 */

但是其沿任意方向 $\bm{e}_l=(\cos \theta,\sin \theta)$ 的导数都存在，

$$\frac{\partial f(0,0)}{\partial \bm{l}}=\lim_{t \rarr 0} \frac{f(t\cos \theta,t\sin \theta)-f(0,0)}{t}=\lim_{t \rarr 0} \frac{\cos\theta \sin^2\theta}{\cos^2\theta+t^2\sin^4\theta} = \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} (\cos \theta \neq 0)$$

当 $\cos\theta = 0$ 时，由于 $f(t\cos \theta,t\sin \theta)-f(0,0)=0$，故方向导数为 $0$。

方向导数存在不一定可微

全微分要求邻域 $U(x_0,y_0)$ 内的任意一点 $(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)$ 都能使得

$$\Delta z = f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0) = a_1 \Delta x+a_2 \Delta y +\omicron(\rho)$$

注意到 $\Delta x,\Delta y$ 的选取是任意的，也就是说，增量也可按照 $\Delta y = \varphi(\Delta x)$ 任意方式趋近于 $0$ 。而各个方向导数存在，仍然仅能保证以直线方式趋近于 $(x_0,y_0)$ 时极限 $\lim_{\rho \rarr 0} \frac{\Delta z-\mathrm{d}z}{\rho}=0$ ，此时 $\mathrm{d}z=\frac{\partial f}{\partial \bm{l}}\mathrm{d}\rho_l$ 。

下面举出一个反例^[1]

$$f(x,y)=\left\{\begin{matrix} \dfrac{2x y^3}{x^2+y^4} &,x^2+y^2 \neq 0\\ 0 &, x^2+y^2 = 0 \end{matrix}\right.$$

它在 $(0,0)$ 处连续，因为

$$\left|\frac{2x y^3}{x^2+y^4}-0\right| =\left|\frac{2x y^2}{x^2+y^4}\right||y|\le |y|<\sqrt{x^2+y^2}<\varepsilon$$

取 $\delta=\varepsilon$ 即可对任意 $0<\left\|(x,y)-(0,0)\right\|<\delta$ 均有不等式成立。

它还在 $(0,0)$ 处任一方向 $\bm{e}_l=(\cos \theta,\sin \theta)$ 的方向导数都存在，因为

$$\frac{\partial f(0,0)}{\partial \bm{l}}=\lim_{t \rarr 0} \frac{f(t\cos \theta,t\sin \theta)-f(0,0)}{t}=\lim_{t \rarr 0} \frac{2\cos\theta \sin^3\theta}{\cos^2\theta+t^2\sin^4\theta}\cdot t = 0$$

但是它在 $(0,0)$ 处不可微，可微要求

$$\Delta z=\mathrm{d}z+\omicron(\rho)= f_x(0,0)\Delta x+ f_y(0,0)\Delta y+\omicron\left(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\right)$$

该函数各方向导数均为 $0$，因此需要考察是否有 $\Delta z=\omicron(\rho)$，作极限

$$\lim_{\rho \rarr 0} \frac{\Delta z}{\rho}=\lim_{(\Delta x,\Delta y) \rarr (0,0)} \frac{2\Delta x (\Delta y)^3}{(\Delta x)^2+(\Delta y)^4 }\frac{1}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}$$

令 $\Delta x= (\Delta y)^2$，再令 $\Delta y \rarr 0^+$，则上式等于

$$\lim_{\Delta x =\Delta y^2} \lim_{\Delta y \rarr 0^+}\frac{2\Delta y}{\Delta y\sqrt{(\Delta y)^2+1}}=2\neq 0$$

所以函数不可微。

可微一定连续

由上节叙述，可微一定连续，因为其保证增量为 $\rho$ 的一阶无穷小和高阶无穷小之和。

Proof

证明：要证

$$\lim_{(x,y) \rarr(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)$$

即证

$$\lim_{(x,y) \rarr(x_0,y_0)} \left[f(x,y)-f(x_0,y_0)\right] = \lim_{(x,y) \rarr(x_0,y_0)} \Delta z= \lim_{\rho \rarr 0} \Delta z=0$$

由 $f(x,y)$ 可微，知

$$\Delta z = f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0) = a_1 \Delta x+a_2 \Delta y +\omicron(\rho)$$

当 $\rho \rarr 0$ 时，$\Delta x \rarr 0, \Delta y \rarr 0, \omicron(\rho) \rarr 0$，故 $\Delta z \rarr 0$，故

$$\lim_{\rho \rarr 0} \Delta z=0$$

可微一定存在方向导数

由上上节叙述，可微要求自变量增量沿任意 $\Delta y = \varphi(\Delta x)$ 趋近于 $0$ 时，函数增量 $\Delta z$ 都能被 $\mathrm{d} x,\mathrm{d} y$ 线性表出，方向导数所对应的直线趋近仅仅是其中一种。

Proof

设 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 可微，则应有

$$\Delta z = f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0) = a_1 \Delta x+a_2 \Delta y +\omicron(\rho)$$

当函数延某一方向 $\bm{e}_l=(\cos \theta,\sin \theta)$ 趋近于 $(x_0,y_0)$ 时，有

$$\Delta x= t\cos \theta, \Delta y = t \sin \theta, t \rarr 0$$

由方向导数的定义，有

$$\frac{\partial f}{\partial \bm{l}}=\lim_{t \rarr 0} \frac{f(x_0 +t\cos \theta,y_0+t\sin \theta)-f(x_0,y_0)}{t}= a_1 \cos \theta+a_2\sin \theta + \lim_{t \rarr 0} \frac{\omicron(t)}{t}=a_1\cos\theta+a_2\sin\theta$$

偏导数连续一定可微

函数 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 的某一邻域内偏导数存在，且偏导数在该点连续，则 $f$ 在该点处可微。

这个性质易于理解，只需给出证明^[2]。

首先通过插项的方法把二元函数的改变量化为一元函数的改变量

$$\Delta z = f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0) =[f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0+\Delta y)]+[f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)]$$

由已知条件，$f(x,y_0)$ 和 $f(x_0,y)$ 在其邻域上均连续且可导，则由Lagrange中值定理，存在 $0<\theta_1,\theta_2<1$，使得上式化为

$$\Delta z =f'_x(x_0+\theta_1\Delta x,y_0+\Delta y)\Delta x+f'_y(x_0,y_0+\theta_2\Delta y)\Delta y$$

由 $f'_x(x_0,y_0),f'_y(x_0,y_0)$ 连续，故

$$\lim_{\rho \rarr 0}f'_x(x_0+\theta_1\Delta x,y_0+\Delta y)=f'_x(x_0,y_0)$$

$$f'_x(x_0+\theta_1\Delta x,y_0+\Delta y)=f'_x(x_0,y_0)+\omicron_1(\rho)$$

同理

$$f'_y(x_0,y_0+\theta_2\Delta y)=f'_y(x_0,y_0)+\omicron_2(\rho)$$

代入 $\Delta z$ 的表达式，得到

$$\Delta z = f'_x(x_0,y_0)\Delta x+f'_y(x_0,y_0)\Delta y+\omicron_1(\rho)\Delta x+\omicron_2(\rho)\Delta y$$

由

$$0 \le \left| \frac{\omicron_1(\rho)\Delta x+\omicron_2(\rho)\Delta y}{\rho} \right| \le|\omicron_1(\rho)|+|\omicron_2(\rho)|$$

易知

$$\lim_{\rho \rarr 0} \frac{\omicron_1(\rho)\Delta x+\omicron_2(\rho)\Delta y}{\rho} =0$$

$$\frac{\omicron_1(\rho)\Delta x+\omicron_2(\rho)\Delta y}{\rho} = \omicron(\rho)$$

所以

$$\Delta z = f'_x(x_0,y_0)\Delta x+f'_y(x_0,y_0)\Delta y+\omicron(\rho)$$

即 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 可微。

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1. 汪林.数学分析中的问题和反例[M].高等教育出版社:北京,2015:323-325. ↩︎

2. 马知恩,王绵森.工科数学分析基础[M].高等教育出版社:北京,2018:30-31. ↩︎