光学笔记(四)光栅与光谱
fengxiaot Lv4

本文梳理一下光栅与光谱,插图主要来自钟锡华老师和赵凯华老师合编的《光学》。

衍射光栅

衍射公式

具有周期性的空间结构或光学性能的衍射屏,统称光栅。例如在一块不透明的障板上刻画出一系列等宽又等间隔的平行狭缝,就是一种简单的一维多缝光栅。在一张透明胶片上因曝光而记录的一组等宽又等间隔的平行干涉条纹,便是一块一维的正弦光栅。晶体由于内部原子排列具有空间周期性而成为天然的三维光栅。

下面讨论简单的 NN 缝夫琅禾费衍射构成的光栅,光栅结构图如图所示。

作符号约定如下

符号 说明
aa 单个缝宽
bb 缝间不透明部分的宽度
dd 缝间距离,称为光栅常数
A0A_0 单缝衍射的振幅

通过矢量图易推得光栅衍射公式

Iθ=A02(sinαα)2(sinNβsinβ)2I_{\theta}=A_{0}^{2}\left(\frac{\sin \alpha}{\alpha}\right)^{2}\left(\frac{\sin N \beta}{\sin \beta}\right)^{2}

其中

α=πaλsinθβ=πdλsinθ\alpha=\frac{\pi a}{\lambda} \sin \theta \qquad \beta=\frac{\pi d}{\lambda} \sin \theta

光栅方程

光栅衍射公式中的 (sinαα)2\left(\dfrac{\sin \alpha}{\alpha}\right)^{2} 称为单缝衍射因子,只影响强度在各个极大的分配,不影响总体的条纹形状。也就是说,光栅衍射图样仍然呈现出缝间干涉的条纹状,具有多个极大。光栅衍射公式中的 (sinNβsinβ)2\left(\dfrac{\sin N \beta}{\sin \beta}\right)^{2} 称为缝间干涉因子,决定了条纹极大极小。光栅衍射图样如图 c 所示,由图 a 和图 b 叠加而成。

若寻找各个极大的位置,只需令缝间干涉因子中 sinβ=0\sin \beta =0 ,此时分子的 sinNβ=0\sin N \beta = 0 ,由洛必达法则知缝间干涉因子变成 N2N^2

若寻找各个极小的位置,只需令 sinNβ=0\sin N \beta = 0sinβ0\sin \beta \neq 0 ,可知每相邻主级强之间有 N1N-1 个极小。

Imax:sinβ=0dsinθ=kλ (kN)I_{\text{max}}:\sin \beta =0 \Longrightarrow d\sin \theta = k\lambda \ (k\in \mathbb{N})

Imin:{sinNβ=0sinβ0dsinθ=kλN (kN,2N,)I_{\text{min}}:\begin{cases} \sin N \beta = 0 \\ \sin \beta \neq 0 \end{cases} \Longrightarrow d \sin \theta = k^\prime \frac{\lambda}{N} \ (k^\prime \neq N,2N,\cdots)

两个主极大之间还存在一些次极大,由下式确定

Isecmax:ddβ(sinNβsinβ)=0I_{\text{secmax}} : \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\beta}\left(\dfrac{\sin N \beta}{\sin \beta}\right) =0

但次极大的数目可以直接从Lagrange中值定理中看出。每个极小之间必然存在一个极大,因为极小时的光强都是 00 。从而每相邻主级强之间共有 N2N-2 个次极大。

缺级现象

由于单缝衍射因子的存在,并不是所有极大都能有效地发挥出来。倘若 sinβ=0\sin \beta =0 时恰好遇上 sinα=0\sin \alpha=0 ,那么单缝衍射因子就变成 00 ,此时这一级主极大消失,称为缺级现象。

{sinβ=0sinα=0{dsinθ=kλasinθ=lλk=dal (lN)\begin{cases} \sin \beta = 0 \\ \sin \alpha = 0 \end {cases} \Longrightarrow \begin{cases} d\sin \theta = k\lambda \\ a\sin \theta = l \lambda \end{cases} \Longrightarrow k =\frac{d}{a} l \ (l \in \mathbb{N})

可见第 ±da,±2da,\pm \frac{d}{a}, \pm 2\frac{d}{a}, \cdots 级主极大将会缺级,这要求 dd 能被 aa 整除。

主极大

  • 主极大的位置:dsinθ=kλd\sin \theta = k\lambda

  • 主极大的个数:sinθ=kλd1kdλ|\sin \theta| = |k|\dfrac{\lambda}{d} \le 1 \Longrightarrow |k| \le \dfrac{d}{\lambda}

  • 主极大的半角宽度:Δθk=λNdcosθk\Delta \theta_k =\dfrac{\lambda}{N d \cos \theta_{k}}

/* 主极大的半角宽度见下面的正式推导 */


光谱

角色散与线色散

概念

光谱是复色光经过分光系统分光后,被色散开的单色光按波长大小而依次排列的图案。

以光栅为例,一束混杂着 λ1=589.0nm,λ2=589.6nm\lambda_1 = 589.0 \mathrm{nm}, \lambda_2 =589.6\mathrm{nm} 的钠黄光经过光栅分光后,大体上各自的第 kk 级亮纹都在某个位置附近。然而波长不同,仍然会导致两条谱线有细微错开。第 kk 级亮纹两谱线的角位置错开的角距离记为 δθk\delta \theta_k ,第 kk 级亮纹两谱线的位置错开的线距离记为 δlk\delta l_k 。分光系统的色散本领用具有一定波长差 δλ\delta \lambda 的两束光在光谱中错开的角距离/线距离来衡量,分别定义为分光系统的角色散本领线色散本领,记作 DθD_\thetaDlD_l ,即

Dθ=δθδλDl=δlδλD_\theta = \frac{\delta \theta}{\delta \lambda} \qquad D_l = \frac{\delta l}{\delta \lambda}

其中下标 kk 已经略去,视具体情形而定。对于光栅,它产生许多极大亮纹,我们可能要对每一级亮纹分别讨论第 kk 级亮纹处的色散本领如何如何,而对于棱镜,它只能产生一条光谱,下标 kk 就是不必要的。

棱镜的色散本领

一般地,偏向角 δ\delta 对波长 λ\lambda 的微商,称为棱镜的角色散本领。

但可以证明,沿产生最小偏向角的方向入射时,光谱线弯曲得最少。所以在光谱仪中棱镜通常是装在接近于产生最小偏向角的位置。因此棱镜的角色散本领 DθD_\theta 定义为

Dθ=dδmdλD_\theta = \frac{\mathrm{d} \delta_{\mathrm{m}}}{\mathrm{d} \lambda}

我们已经知道了不同折射率棱镜的最小偏向角

n=sinα+δm2sinα2n=\frac{\sin \frac{\alpha+\delta_m}{2}}{\sin \frac{\alpha}{2}}

而不同波长的光在棱镜中的折射率不同,可用链式法则计算 DθD_\theta ,即

Dθ=dδmdλ=dδmdndndλ=(dndδm)1dndλ=2sin(α/2)1n2sin2(α/2)dndλD_{\theta}=\frac{\mathrm{d} \delta_{\mathrm{m}}}{\mathrm{d} \lambda}=\frac{\mathrm{d} \delta_{\mathrm{m}}}{\mathrm{d} n} \frac{\mathrm{d} n}{\mathrm{d} \lambda}=\left(\frac{\mathrm{d} n}{\mathrm{d} \delta_{\mathrm{m}}}\right)^{-1} \frac{\mathrm{d} n}{\mathrm{d} \lambda} = \frac{2 \sin (\alpha / 2)}{\sqrt{1-n^{2} \sin ^{2}(\alpha / 2)}} \cdot \frac{\mathrm{d} n}{\mathrm{d} \lambda}

它又可以写为

Dθ=badndλD_{\theta}=\frac{b}{a}\frac{\mathrm{d} n}{\mathrm{d} \lambda}

式中 bb 是棱镜底边长度,aa 是光束的宽度。

光栅的色散本领

光栅的角色散本领看的是第 kk 级谱线的角色散。

对光栅方程两边取微分,得到 dcosθkδθ=kδλd \cos \theta_{k} \delta \theta=k \delta \lambda ,从而立刻有

Dθ=kdcosθkD_{\theta}=\frac{k}{d \cos \theta_{k}}

得到结论:光栅的角色散本领与光栅常数 dd 成反比,与级数 kk 成正比。

光栅的线色散本领需要结合具体装置,如图所示。

对于上述装置,设光栅后面聚焦物镜的焦距为 ff ,则 δl=fδθ\delta l = f \delta \theta ,从而

Dl=fDθ=kfdcosθkD_l = f D_\theta = \frac{kf}{d \cos \theta_{k}}

得到结论:光栅的线色散本领还与焦矩 ff 成正比,与光栅中衍射单元的总数 NN 无关。

半角宽度与色分辨

概念

色散本领只反映谱线中心分离的程度,它不能说明两条谱线是否重叠。所以只有色散本领大还是不够的,要分辨波长很接近的谱线,仍需每条谱线都很细。设分光仪器能够分辨的最小波长差为 δλ\delta \lambda ,规定色分辨本领为

R=λδλR = \frac{\lambda}{\delta \lambda}

色分辨本领越大,分光仪器能够分辨的最小波长差越小,代表着分光仪器越精细。问题是,我们如何界定「能够分辨」?回忆瑞利判据:当两个像之间的角距离等于艾里斑的角半径时恰好能分清。我们作类似规定:当两条谱线之间的角距离 δθ\delta \theta 等于每条谱线的半角宽度 Δθ\Delta \theta 时,恰好能分清两条谱线。

由判据 δθ=Δθ\delta \theta = \Delta \theta 以及 δθ=Dθδλ\delta \theta = D_\theta \delta \lambda 可以导出半角宽度 Δθ\Delta \theta 与能够分辨的最小波长差为 δλ\delta \lambda 之间的关系,进而求出分光仪器的色分辨本领。

棱镜的半角宽度与色分辨

棱镜对光束的限制作用相当于矩孔,它产生矩孔衍射。由光学笔记(二)知道,宽度为 aa 的光束的衍射半角宽度为

Δθ=λ/a\Delta \theta = \lambda /a

从而棱镜的色分辨本领为

Rλδλ=bdndλR \equiv \frac{\lambda}{\delta \lambda}=b \frac{\mathrm{d} n}{\mathrm{d} \lambda}

光栅的半角宽度与色分辨

设光栅第 kk 级谱线的衍射角为 θk\theta_k ,半角宽度为 Δθk\Delta \theta_k ,则 θk+Δθk\theta_k+\Delta \theta_k 处对应一个暗纹。即

{dsinθk=kλdsin(θk+Δθk)=kλ+λNdcosθkΔθk=λNΔθk=λNdcosθk\begin{cases} d \sin \theta_k = k \lambda \\ d\sin(\theta_k + \Delta \theta_k) = k\lambda+\frac{\lambda}{N}\end{cases} \Longrightarrow d \cos \theta_k \Delta \theta_k =\frac{\lambda}{N} \Longrightarrow \Delta\theta_k = \frac{\lambda}{Nd \cos \theta_k}

这就是光栅的半角宽度表达式。进而由

δλ=δθDθ=ΔθDθ=dcosθkλNdcosθ=λkN\delta \lambda=\frac{\delta \theta}{D_{\theta}}=\frac{\Delta \theta}{D_{\theta}}=\frac{d \cos \theta}{k} \cdot \frac{\lambda}{N d \cos \theta} = \frac{\lambda}{kN}

可得光栅的色分辨本领

Rλδλ=kNR \equiv \frac{\lambda}{\delta \lambda}= kN

得出结论:光栅的色分辨本领正比于衍射单元总数 NN 和光谱的级别 kk ,与光栅常数 dd 无关。

FP干涉仪的半角宽度和色分辨

FP干涉仪第 kk 级条纹的半角宽度在上一篇笔记中已经计算过,为

Δik=λε4πnhsinik\Delta i_{k}=\frac{\lambda \varepsilon}{4 \pi n h \sin i_{k}}

其中 ε\varepsilon 为相位半值宽度。两条相差 δλ\delta \lambda 的谱线 kk 级亮纹之间的角距离 δik\delta i_k

{2nhcosik=kλ2nhcos(ik+δik)=k(λ+δλ)δikk2nhsinikδλ\begin{cases} 2nh \cos i_k = k \lambda \\ 2nh \cos (i_k+\delta i_k) = k (\lambda + \delta \lambda) \end{cases} \Longrightarrow \delta i_k \approx \frac{k}{2nh \sin i_k} \delta \lambda

从而依照瑞利判据 δik=Δik\delta i_k = \Delta i_k ,能够分辨的最小波长差 δλ\delta \lambda 满足

λε4πnhsinik=k2nhsinikδλ\frac{\lambda \varepsilon}{4 \pi n h \sin i_{k}} = \frac{k}{2nh \sin i_k} \delta \lambda

δλ=λε2πk=λπk1RR\delta \lambda = \frac{\lambda \varepsilon}{2 \pi k} = \frac{\lambda }{\pi k} \frac{1-R}{\sqrt{R}}

它恰好等于FP干涉仪的谱线宽度,但注意这其实是用两种完全不同的方法算出来的!

色分辨本领就是

λδλ=2πkε=πkR1R\frac{\lambda}{\delta \lambda} = \frac{2 \pi k}{\varepsilon}=\pi k \frac{\sqrt{R}}{1-R}


偏振成像光谱技术

成像光谱仪的分类

根据分光元件的机理,成像光谱仪可分为色散型干涉型滤光片型计算层析型编码孔径型三维成像型成像光谱仪。

干涉型光谱仪具有高通量多通道的优点。干涉型光谱仪与色散型光谱仪的信噪比之比为 (S/N)I(S/N)G=M1/2\frac{(S / N)_{I}}{(S / N)_{G}}=M^{1 / 2} ,其中 MM 为光谱元数。

色散型成像光谱仪的光谱分辨率与狭缝宽度成反比。狭缝越窄,光谱分辨率越高。

色散型成像光谱仪的探测灵敏度与狭缝宽度成正比。狭缝越窄,进入系统的光通量越少,探测灵敏度越低。

干涉成像光谱技术

干涉图:探测器接收到的信号强度 II 随光程差 Δ\Delta 的变化,称为干涉图 I(Δ)I(\Delta)

光谱图:探测器接收到的光谱强度 BB 随波数 σ\sigma 的变化,称为干涉图 B(σ)B(\sigma)

光谱:复色光经过色散系统分光后,强度按波长的大小依次排列的图案称为光谱。

干涉图和光谱图之间的 Fourier 变换关系为

B(σ)=I(Δ)ei2πσΔdΔI(Δ)=B(σ)ei2πσΔdσB(\sigma)=\int_{-\infty}^{\infty} I(\Delta) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} 2 \pi \sigma \Delta} \mathrm{d} \Delta \qquad I(\Delta)=\int_{-\infty}^{\infty} B(\sigma) \mathrm{e}^{\mathrm{i} 2 \pi \sigma \Delta} \mathrm{d} \sigma

其中 σ\sigma 为波数,Δ\Delta 为光程差,I(Δ)=IR(Δ)IR(0)/2I(\Delta) = I_{R}(\Delta)-I_{R}(0) / 2 为干涉图,B(σ)B(\sigma) 为光谱图。

实数形式的 Fourier 变换关系为

B(σ)=0I(Δ)cos(2πσΔ)dΔI(Δ)=0B(σ)cos(2πσΔ)dσB(\sigma)=\int_{0}^{\infty} I(\Delta) \cos (2 \pi \sigma \Delta) \mathrm{d} \Delta \qquad I(\Delta)=\int_{0}^{\infty} B(\sigma) \cos (2 \pi \sigma \Delta) \mathrm{d} \sigma

干涉成像光谱技术从探测模式上可以分为时间调制干涉成像光谱技术空间调制干涉成像光谱技术时空混合调制干涉成像光谱技术

基于迈克耳逊干涉仪的引力波探测器属于时间调制干涉成像光谱技术

成像光谱偏振仪

成像光谱偏振仪结构包括调制模块干涉模块成像模块

成像光谱偏振仪可同时获取目标的二维空间信息一维光谱信息全偏振信息