广义相对论笔记（一）拓扑学基础

这篇文章是拓扑学简介，主要目标是为广义相对论的学习服务。参考的教材为梁灿彬的《微分几何与广义相对论》和张德学的《一般拓扑学基础》，分别是物理系和数学系的教材。本文更像是笔记整理，大部分内容在进行定义与性质的列举，而略去了拓扑学教材中的辅助理解的例子。读者应当一边阅读拓扑学教材，阅读相应的例子，再回过头来看形式抽象的定义。

拓扑概念

定义

集合 $X$ 上一个拓扑 (topology) 指 $X$ 一个满足下列条件的子集族 $\mathcal{T} \subseteq \mathcal{P}(X)$

1. $\varnothing ,X \in \mathcal{T}$
2. $\mathcal{T}$ 中任意有限个元素之交仍然属于 $\mathcal{T}$
3. $\mathcal{T}$ 中任意多个元素之并仍然属于 $\mathcal{T}$

则序对 $(X,\mathcal{T})$ 成为拓扑空间 (topological space)，$X$ 称为它的承载集 (underlying space)，$\mathcal{T}$ 中元素称为 $X$ 的开集。在不引起混淆的情况下，把拓扑空间 $(X,\mathcal{T})$ 简记为 $X$ 。

特殊拓扑

• 平庸拓扑：任给集合 $X$ ，$\mathcal{T} = \{ \varnothing,X\}$ 称为 $X$ 上的平庸拓扑。它是元素最少的拓扑。
• 离散拓扑：任给集合 $X$ ，$\mathcal{T} = \mathcal{P}(X)$ 是 $X$ 的幂集，称为 $X$ 上的离散拓扑。它是元素最多的拓扑。$X$ 上的任意子集都是它的离散拓扑中的开集。
• Sierpinski 空间：令 $2 = \{0,1\}$，$\mathcal{S} = \{ \varnothing, \{0,1\} ,\{1\}\}$，则 $\mathcal{S}$ 是 $2$ 上的拓扑。拓扑空间 $(2,\mathcal{S})$ 称为 Sierpinski 空间。
• 子拓扑：如果已经给定了一个拓扑 $(X,\mathcal{T})$ ，那么在 $X$ 的一个子集 $A$ 上可以继承一个拓扑 $\mathcal{T} \vert_A$ ，定义为：$\mathcal{T}|_A=\{U\cap A \vert U\in \mathcal{T}\}$。那么 $\mathcal{T} \vert_A$称为 $\mathcal{T}$ 的子拓扑或者限制拓扑，$(A,\mathcal{T} \vert_A )$ 构成了 $(X,\mathcal{T})$ 的一个子拓扑空间。

拓扑基

定义

对于给定的拓扑空间 $(X,\mathcal{T})$，如果 $\mathcal{B}$ 是 $\mathcal{T}$ 的一个子族，而且使得拓扑 $\mathcal{T}$ 中的任何开集都可以表示为 $\mathcal{B}$ 中若干开集的并，那么称 $\mathcal{B}$ 是 $\mathcal{T}$ 的一个拓扑基。

性质

设 $(X,\mathcal{T})$ 是拓扑空间，$\mathcal{B} \subseteq \mathcal{T}$ 是 $\mathcal{T}$ 的一个基，则 $\mathcal{B}$ 满足

1. $\bigcup \mathcal{B} = X$
2. 任给 $B_1, B_2 \in \mathcal{B}$ 以及 $x \in B_1 \cap B_2$，存在 $B_3 \in B$ 使得 $x \in B_3 \subseteq B_1 \cap B_2$ 。

反过来, 若 $\mathcal{B}$ 是集合 $X$ 的满足以上两个性质的的子集族，则存在 $X$ 上唯一一个拓扑 $\mathcal{T}$ 使得 $\mathcal{B}$ 是 $\mathcal{T}$ 的一个基。该拓扑称为 $X$ 上以 $\mathcal{B}$ 为基生成的拓扑。

度量诱导的拓扑

首先回顾度量的定义

集合 $X$ 上一个度量指一满足下列条件的映射 $d: X \times X \to [0,\infty)$

1．$\forall x,y \in X$，$d(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y$
2．$\forall x,y \in X$，$d(x,y)= d(y,x)$
3．$\forall x,y,z \in X$，$d(x,y) + d(y,z) \ge d(x,z)$

序对 $(X,d)$ 称为一度量空间，任给 $x,y \in X$，$d(x,y)$ 称为 $x$ 到 $y$ 的距离。

从距离可以定义开球的概念。任给 $x \in X$ 和 $r>0$ ，规定集合

$$B(x,r) = \{ y \in X \mid d(y,x)<r \}$$

称为以 $x$ 为球心，$r$ 为半径的开球。由度量的三角不等式容易验证 $X$ 上所有开球

$$\mathcal{B}= \{ B(x,r) \mid x \in X, r>0\}$$

能够作为一个基生成 $X$ 上一个拓扑，称为由度量 $d$ 诱导的拓扑，记作 $\mathcal{T}_d$ 。

可数性

设 $X$ 是拓扑空间，称 $X$

1. 具有 $A_1$ 性，或称 $X$ 第一可数，若 $X$ 的每一点都有一个可数邻域基。
2. 具有 $A_2$ 性，或称 $X$ 第二可数，若 $X$ 有一个可数基。

命题：第二可数空间一定第一可数。

例：$\R^n$ 的标准拓扑第二可数。

Proof

任给自然数 $n \ge 1$ ，开集族 $\left\{B(x, 1 / k) \mid x \in \mathbb{Q}^{n}, k=1,2,3, \cdots\right\}$ 是 $\R^n$ 的标准拓扑的一个可数基。因此 $\R^n$ 的标准拓扑第二可数。

同胚

连续映射

连续映射是拓扑学的核心概念，它是数学分析中连续函数的推广。

连续映射的定义：设 $(X,\mathcal{T}) , (Y,\mathcal{S})$ 是拓扑空间，映射 $f:X \to Y$，若任给 $Y$ 中开集 $U$，其在 $f$ 下的原像 $f^{-1} (U)$ 也是开集，则称 $f$ 是连续映射。即 $\forall U \in \mathcal{S}$ 都有 $f^{-1} (U) \in \mathcal{T}$，则称映射 $f:X \to Y$ 是连续映射。

/* 注: 一个显而易见的问题是，若 $f$ 不是单射，那么 $U$ 在 $f$ 下的原像岂不是有许多个，不一定是拓扑 $\mathcal{T}$ 中的某一个元素？此时只要定义 $U$ 在 $f$ 下的原像为 $X$ 中所有能够映射到 $U$ 的元素的集合，并且要求此集合是拓扑 $\mathcal{T}$ 的子集就可以了 */

为了研究映射在某点的连续性，回归到 $\varepsilon-\delta$ 语言，我们先定义拓扑空间中某点的邻域。

拓扑空间 $X$ 的子集 $U$ 称为点 $x$ 的一个邻域，若存在 $X$ 的开集 $V$ 使得 $x \in V \subseteq U$ 。点 $x$ 的全体邻域记为 $\mathcal{N}(x)$，称为 $x$ 的邻域系。拓扑空间的邻域系描述了它的局部结构。自身是开集的邻域称为开邻域。

映射在某点连续的定义：设 $X, Y$ 是拓扑空间，$x \in X$ ，若任给 $f(x)$ 的邻域 $U$ ，存在 $x$ 的邻域 $V$ 使得 $f(V) \subseteq U$ ，则称映射 $f : X \to Y$ 在 $x$ 处连续。

同胚映射

设 $(X,\mathcal{T}) , (Y,\mathcal{S})$ 是拓扑空间，若存在映射 $f:X \to Y$，满足

1. 映射 $f$ 是双射
2. $f$ 和 $f^{-1}$ 都连续

则称 $f$ 是从 $(X,\mathcal{T})$ 到 $(Y,\mathcal{S})$ 的同胚映射，并称 $X$ 与 $Y$ 同胚 (homeomorphism) 。

直观地说，$X$ 与 $Y$ 同胚当且仅当 $X$ 可以连续形变为 $Y$，并且该过程可逆。从拓扑学的角度来看，同胚的空间是一样的，可以不加区别。这和代数学里对同构的群或环不加区别的道理是一样的。

紧致性

覆盖

给定任何集合 $X$ 和它的一个子集 $A$，我们常常可以用一系列 $X$ 的子集 $\{X_i\}$ 来把 $A$ 包括在这些子集的并集里，这种行为叫做用 $\{X_i\}$ 覆盖 $A$ 。例如我们可以用 $\{[n, n+10)\}$ 覆盖 $\mathbb{R}$ ，其中 $n$ 取遍所有整数，或者偶数，或者10的倍数等等。由此可以引出覆盖的严格定义。

给定集合 $A \subset X$，若 $X$ 的若干子集的集合 $\{X_i\}$ 满足 $A \subseteq \bigcup X_i$，则称 $\{X_i\}$ 覆盖了 $A$ ，或者说 $\{X_i\}$ 是 $A$ 的一个覆盖。

给定集合 $A \subseteq X$ 和它的一个覆盖 $\{X_i\}$ ，如果 $\{X_i\}$ 的某个子集 $\{Y_i\}$ 也能覆盖 $A$，那么显然 $\{Y_i\}$ 也是 $A$ 的一个覆盖，称它为 $A$ 对于 $\{X_i\}$ 的子覆盖。若 $\{Y_i\}$ 是有限集，则称 $\{Y_i\}$ 是有限子覆盖。

给定拓扑空间 $X$ 和它的一个子集 $A$ ，如果 $A$ 有一个覆盖 $\{X_i\}$ 且各 $\{X_i\}$ 是开集，那么我们称这个覆盖为 $A$ 的开覆盖。

紧致

给定拓扑空间 $X$ 和它的一个子集 $A$ 。如果不论取 $A$ 的哪一个开覆盖 $\{X_i\}$ ，总存在一个有限子覆盖 $\{Y_i\} \subseteq \{X_i\}$ ，那么称 $A$ 是 $X$ 的一个紧子集，或者说 $A$ 在 $X$ 中是紧致的，简称 $A$ 是紧致的。

拓扑空间 $X$ 称为紧空间 (compact space) ，若 $X$ 的任意开覆盖都有有限子覆盖。

/* 注意：子集的紧致性和拓扑空间的紧致性都要求任意开覆盖，而非某一个开覆盖，具有有限子覆盖 */

下面举三个命题，帮助理解紧致的概念。

命题1：$\mathbb{R}$ 的任意开区间或半开区间都是非紧致的。

Proof

以区间 $(0,1)$ 为例，任意区间以此类推。考虑 $(0,1)$ 的一个开覆盖

$$(0,1) \subseteq \bigcup_{n \in \N} \left( \frac{1}{n},\frac{n-1}{n} \right)$$

只有 $n \to \infty$ 时才能覆盖 $(0,1)$ ，等式右边的任意一个有限子集都无法覆盖 $(0,1)$ 。

当然这并不意味着 $(0,1)$ 的某个开覆盖不存在有限子覆盖。例如 $\{ (-1,0.5),(0.25,0.75),(0.5,2),(0.25,2)\}$ 是 $(0,1)$ 的一个开覆盖，并且存在有限子覆盖 $\{ (-1,0.5),(0.25,0.75),(0.5,2)\}$ 。我们这里找到的反例只是反对了其任意性。

命题2：$\mathbb{R}$ 是非紧致的。

Proof

请读者自证。

命题3：$\mathbb{R}$ 的任意闭区间都是紧致的。

Proof

这就是数学分析中的有限覆盖定理：任给 $a, b \in \mathbb{R}$ ，闭区间 $[a, b]$ 的任意由 $\R$ 中开集构成的覆盖有有限子覆盖。

命题4：任意有限拓扑空间是紧空间。

Proof

有限拓扑空间的任意开覆盖必然是 $\mathcal{P}(X)$ 的子集的并，因此必然存在有限子覆盖。

分离性

分离性是一种基本的拓扑性质。物理上最重要最常用的是 $T_2$ 性。

设 $(X,\mathcal{T})$ 是一拓扑空间。$(X,\mathcal{T})$ 称为

1. $T_0$ 的，若任给 $X$ 中不同的两点 $x, y$ ，存在 $X$ 中开集 $U$ ，使得 $x \in U, y \notin U$ 或者 $y \in U, x \notin U$ 。
2. $T_1$ 的，若任给 $X$ 中不同的两点 $x, y$ ，存在 $X$ 中开集 $U$ ，使得 $x \in U, y \notin U$ 。
3. $T_2$ 的，若任给 $X$ 中不同的两点 $x, y$ ，存在 $X$ 中开集 $U,V$ ，使得 $x \in U, y \in V$ 并且 $U \cap V = \varnothing$ 。

其中 $T_2$ 空间也称为Hausdorff空间。这一组分离性的共同点是用开集分离空间中的点。由定义显然有 $T_2 \Rightarrow T_1 \Rightarrow T_0$ 。

紧致性和 $T_2$ 性在同胚映射下保持不变，这种性质称为拓扑性质。连通性也是拓扑性质。

定理

最后我们给出一些定理，这些定理的证明都可以在梁灿彬的《微分几何与广义相对论》或任意一本拓扑学教材中找到。

定理1 若 $(X,\mathcal{T})$ 为 $T_2$ 空间，$A \subset X$ 为紧子集，则 $A$ 为闭集。

定理2 若 $(X,\mathcal{T})$ 为紧致空间，$A \subset X$ 为闭集，则 $A$ 是紧致的。

定理3 标准拓扑空间 $\mathbb{R}^n$ 的子集 $A \subset \mathbb{R}^n$ 为紧致，当且仅当 $A$ 为有界闭集。