广义相对论笔记（六）曲率
fengxiaot Lv4
  2022-05-28 01:13:02 2022-05-28 01:13  

这篇文章是曲率，主要目标是为广义相对论的学习服务。参考的教材为梁灿彬的《微分几何与广义相对论》、陈斌的《广义相对论》梅加强的《流形与几何初步》，分别是物理系和数学系的教材。

本篇文章中除非特殊声明，均默认 (M,g)(M,g) 为黎曼流形且 ∇\nabla 为黎曼联络。闵氏度规取 (+,−,−,−)(+,-,-,-) 。

曲率

协变微分

协变微分 设 TT 为 (p,q)(p,q) 型的张量场，定义 (p,q+1)(p,q+1) 型的张量场 ∇T\nabla T 如下：任给 pp 个 1-形式 ω1,⋯ ,ωp\omega_1,\cdots,\omega_p 和 q+1q+1 个向量场 Y1,⋯ ,Yq,XY_1,\cdots,Y_q,X，规定 ∇T\nabla T 作用于其上的结果为

∇T(ω1,⋯ ,ωp,Y1,⋯ ,Yq,X)=∇XT(ω1,⋯ ,ωp,Y1,⋯ ,Yq)\nabla T(\omega_1,\cdots,\omega_p,Y_1,\cdots,Y_q,X) = \nabla _X T (\omega_1,\cdots,\omega_p,Y_1,\cdots,Y_q)

称 ∇T\nabla T 为 TT 的协变微分。

曲率的定义

曲率算子 给定切向量场 X,YX,Y，曲率张量 R(X,Y)R(X,Y) 作用于向量场 ZZ 上得到另一向量场，即 R(X,Y):X(M)→X(M)R(X,Y): \mathfrak{X} (M) \to \mathfrak{X} (M) ，映射方法为

R(X,Y)Z=∇Y∇XZ−∇X∇YZ+∇[X,Y]ZR(X, Y) Z=\nabla_{Y} \nabla_{X} Z-\nabla_{X} \nabla_{Y} Z+\nabla_{[X, Y]} Z

这样定义了一个 (1,3)(1,3) 型张量场 RR ，并将 R(X,Y)R(X,Y) 称为联络 ∇\nabla 沿着 X,YX,Y 的曲率算子。

直观来说，曲率算子是量度导数算子的可对易性的。如果取 X,YX,Y 为坐标基矢 ∂∂xμ,∂∂xν\dfrac{\partial}{\partial x^{\mu}},\dfrac{\partial}{\partial x^{\nu}}，那么 [X,Y]=0[X,Y]=0，从而 R(∂μ,∂ν)R(\partial_\mu,\partial_\nu) 就是沿着坐标方向的二阶导数之差。

设 {xμ}\{x^\mu\} 为 MM 的局部坐标系，则曲率算子 RR 可以局部表示为

R=Rσμνρ∂∂xσ⊗dxμ⊗dxν⊗dxρR=R^\sigma{_{\mu\nu\rho}} \frac{\partial}{\partial x^{\sigma}} \otimes \mathrm{d} x^{\mu} \otimes \mathrm{d} x^{\nu} \otimes \mathrm{d} x^{\rho}

Rσμνρ=∂∂xνΓμρσ−∂∂xμΓνρσ+ΓμρτΓντσ−ΓνρτΓμτσR^\sigma{_{\mu\nu\rho}} = \frac{\partial}{\partial x^\nu} \Gamma_{\mu\rho}^\sigma-\frac{\partial}{\partial x^\mu} \Gamma_{\nu\rho}^\sigma+\Gamma_{\mu\rho}^\tau \Gamma_{\nu\tau}^\sigma-\Gamma_{\nu\rho}^\tau \Gamma_{\mu\tau}^\sigma

曲率算子还可以推广到一般张量场上，定义为 RXY=∇[X,Y]−[∇X,∇Y]R_{X Y}=\nabla_{[X, Y]}-\left[\nabla_{X}, \nabla_{Y}\right] 。

曲率张量 利用黎曼度量 gg 将 RR 的逆变指标降为协变指标，这样得到的 (0,4)(0,4) 型张量场称为曲率张量，仍记为 RR 。

设 {xμ}\{x^\mu\} 为 MM 的局部坐标系，则曲率张量 RR 可以局部表示为

R=Rμνρσ dxμ⊗dxν⊗dxρ⊗dxσR=R_{\mu \nu \rho \sigma} \ \mathrm{d} x^{\mu} \otimes \mathrm{d} x^{\nu} \otimes \mathrm{d} x^{\rho} \otimes \mathrm{d} x^{\sigma}

Rμνρσ=12(∂2gμσ∂xν∂xρ+∂2gνρ∂xμ∂xσ−∂2gμρ∂xν∂xσ−∂2gνσ∂xμ∂xρ)+gτλΓνρτΓμσλ−gτλΓνστΓμρλR_{\mu \nu \rho \sigma}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial^{2} g_{\mu \sigma}}{\partial x^{\nu} \partial x^{\rho}}+\frac{\partial^{2} g_{\nu \rho}}{\partial x^{\mu} \partial x^{\sigma}}-\frac{\partial^{2} g_{\mu \rho}}{\partial x^{\nu} \partial x^{\sigma}}-\frac{\partial^{2} g_{\nu \sigma}}{\partial x^{\mu} \partial x^{\rho}}\right)+g_{\tau\lambda} \Gamma_{\nu \rho}^\tau \Gamma_{\mu \sigma}^\lambda -g_{\tau\lambda} \Gamma_{\nu \sigma}^{\tau} \Gamma_{\mu \rho}^{\lambda}

曲率张量由黎曼度量的二阶导数和一阶导数构成。曲率张量是黎曼几何中主要的几何不变量。

曲率的性质

  1. 前两个指标反对称：Rμνρσ=−RνμρσR_{\mu \nu \rho \sigma}= - R_{\nu \mu \rho \sigma} 或 R(X,Y,Z,W)=−R(Y,X,Z,W)R(X, Y, Z, W) = - R(Y,X, Z, W)
  2. 后两个指标反对称：Rμνρσ=−RμνσρR_{\mu \nu \rho \sigma}= - R_{\mu \nu \sigma \rho} 或 R(X,Y,Z,W)=−R(X,Y,W,Z)R(X, Y, Z, W) = - R(X,Y,W,Z)
  3. 前后两组指标对称：Rμνρσ=RρσμνR_{\mu \nu \rho \sigma}= R_{\rho \sigma \mu \nu} 或 R(X,Y,Z,W)=R(Z,W,X,Y)R(X, Y, Z, W) = R(Z,W,X,Y)
  4. 第一 Bianchi 恒等式：R[μνρ]σ=0R_{[\mu \nu \rho] \sigma} = 0 或 R(X,Y,Z,W)+R(Y,Z,X,W)+R(Z,X,Y,W)=0R(X, Y, Z, W)+R(Y, Z, X, W)+R(Z, X, Y, W)=0
  5. 第二 Bianchi 恒等式：∇[μRνρ]στ=0\nabla_{[\mu} R_{\nu\rho]\sigma\tau}=0 或 (∇XR)(Y,Z)+(∇YR)(Z,X)+(∇ZR)(X,Y)=0\left(\nabla_{X} R\right)(Y,Z)+\left(\nabla_{Y} R\right)(Z,X)+\left(\nabla_{Z} R\right)(X,Y)=0
  6. 对于 nn 维黎曼流形，曲率张量的独立分量个数为 n2(n2−1)/12n^2(n^2-1)/12 。
  7. Leibniz 律：RXY(T1⊗T2)=(RXYT1)⊗T2+T1⊗(RXYT2)R_{XY} \left( T_1 \otimes T_2 \right) = \left( R_{XY}T_1\right) \otimes T_2 + T_1 \otimes \left( R_{XY}T_2\right) ，其中 T1,T2T_1,T_2 为张量场
  8. 线性：R(fX)YT=RX(fY)T=RXY(fT)=fRXYTR_{(f X) Y} T=R_{X(f Y)} T=R_{X Y}(f T)=f R_{X Y} T，其中 TT 为张量场，ff 为光滑函数

Ricci 张量

Ricci 张量 Ricci 张量定义为黎曼曲率张量的如下收缩

Rμν=gρσRμρνσR_{\mu\nu} = g^{\rho \sigma} R_{\mu \rho \nu \sigma}

Ricci 张量是一个对称张量，即 Rμν=RνμR_{\mu\nu} = R_{\nu\mu} 。

Ricci 张量计算公式为

Rμν=∂ρΓμνρ−∂νΓμρρ+ΓρσρΓμνσ−ΓσνρΓμρσR_{\mu \nu}=\partial_\rho \Gamma_{\mu \nu}^\rho-\partial_\nu \Gamma_{\mu \rho}^\rho+\Gamma_{\rho \sigma}^\rho \Gamma_{\mu \nu}^\sigma-\Gamma_{\sigma \nu}^\rho \Gamma_{\mu \rho}^\sigma

Ricci 标量 Ricci 标量定义为 Ricci 张量的迹

R=Tr⁡Rμν=gμνRμν=gμνgρσRμρνσR = \operatorname{Tr} R_{\mu\nu} = g^{\mu\nu} R_{\mu\nu} =g^{\mu\nu} g^{\rho \sigma} R_{\mu \rho \nu \sigma}

Ricci 标量为常数的黎曼度量称为 Einstein 度量，拥有 Einstein 度量的黎曼流形称为 Einstein 流形。

Shur定理：设 (M,g)(M,g) 为连通 nn 维黎曼流形，n≥3n \ge 3 。若 Ricci 张量是 gg 的倍数，则 gg 是 Einstein 度量。

Einstein 张量 爱因斯坦张量定义为 Ricci 张量和 Ricci 标量的如下组合

Gμν=Rμν−12RgμνG_{\mu \nu}=R_{\mu \nu}-\frac{1}{2} R g_{\mu \nu}


活动标架

活动标架

在实际计算中，我们并不总是使用坐标基 {∂∂xμ}\left\{\frac{\partial}{\partial x^\mu}\right\} ，有时会使用满足特定关系的一组非坐标基 {eμ}\{e_\mu\} ，例如要求其满足正交归一关系等。

一般地，定义

eμ=Kμν∂∂xνe_\mu = K^\nu_\mu \frac{\partial}{\partial x^\nu}

其中 Kμν∈GL(n,R)K^\nu_\mu \in GL(n,\mathbb{R}) 并且 det⁡(Kμν)>0\det(K^\nu_\mu)>0 维持定向不变，根据对偶基的要求，应当有 eμ(eν)=δνμe^\mu (e_\nu) = \delta^\mu_\nu ，进而有

eμ=(K−1)νμdxνe^\mu = \left(K^{-1} \right)^\mu_\nu \mathrm{d}x^\nu

其中系数 (K−1)νμ(K^{-1})^\mu_\nu 由 (K−1)νμKρν=δρμ(K^{-1})^\mu_\nu K^\nu_\rho = \delta^\mu_\rho 确定。

自旋联络系数

对于流形上一个指定的一般联络 ∇\nabla，可以类似地定义所谓的自旋联络系数 γ\gamma

∇eμeν=γμνρeρ\nabla_{e_\mu} e_\nu = \gamma^\rho_{\mu\nu} e_\rho

非坐标基的联络系数 γ\gamma 与坐标基的联络系数 Γ\Gamma 的关系是

γμνρ=Kμσ(∂Kνρ∂xσ+KντΓστρ)\gamma^\rho_{\mu\nu} = K^\sigma_\mu \left( \frac{\partial K^\rho_\nu}{\partial x^\sigma} + K^\tau_\nu \Gamma^\rho_{\sigma\tau} \right)

利用自旋联络系数 γ\gamma，可以定义一个自旋联络 1-形式

ωνμ=γρνμeρ\omega^\mu_\nu = \gamma^\mu_{\rho\nu} e^\rho

后面推导 Cartan 结构方程时很有用。

结构参数

坐标基 {∂∂xμ}\left\{\frac{\partial}{\partial x^\mu}\right\} 之间是对易的，即

[∂∂xμ,∂∂xν]=0\left[\frac{\partial}{\partial x^\mu},\frac{\partial}{\partial x^\nu}\right] =0

非坐标基 {eμ}\{e_\mu\} 之间并不对易，可以引入结构参数 LμνρL^\rho_{\mu\nu}

[eμ,eν]=Lμνρeρ\left[ e_\mu,e_\nu\right] = L^\rho_{\mu\nu} e_\rho

利用李括号的性质 [fX,gY]=f(Xg)Y−g(Yf)X+fg[X,Y][f X, g Y]=f(X g) Y-g(Y f) X+f g[X, Y]，可以解出

Lμνρ=(Kμσ∂σKντ−Kνσ∂σKμτ)(K−1)τρL^\rho_{\mu\nu} = \left(K^\sigma_\mu \partial_\sigma K^\tau_\nu-K^\sigma_\nu \partial_\sigma K^\tau_\mu\right) \left(K^{-1} \right)^\rho_\tau

曲率与挠率

按照曲率 R∈Γ(⊗1,3TM)R \in \varGamma\left( \otimes^{1,3} TM \right) 和挠率 T∈Γ(⊗1,2TM)T \in \varGamma\left( \otimes^{1,2} TM \right) 的一般性定义

T(X,Y)=∇XY−∇YX[X,Y]T(X, Y) = \nabla_X Y - \nabla_Y X [X, Y]

R(X,Y)Z=∇Y∇XZ−∇X∇YZ+∇[X,Y]ZR(X, Y) Z=\nabla_{Y} \nabla_{X} Z-\nabla_{X} \nabla_{Y} Z+\nabla_{[X, Y]} Z

可以得到曲率和挠率在非坐标基下的分量

T=T~ρμν eμ⊗eν⊗eρT = \tilde{T}^\rho{_{\mu\nu}} \,e_\mu \otimes e_\nu \otimes e^\rho

R=R~σμνρ eμ⊗eν⊗eρ⊗eρR = \tilde{R}^\sigma{_{\mu\nu\rho}} \,e_\mu \otimes e_\nu \otimes e_\rho \otimes e^\rho

T~ρμν=T(eμ,eν,eρ)=γμνρ−γμνρ−Lμνρ\tilde{T}^\rho{_{\mu\nu}} =T(e^\mu,e^\nu,e_\rho) = \gamma^\rho_{\mu\nu} - \gamma^\rho_{\mu\nu} - L^\rho_{\mu\nu}

R~σμνρ=R(eμ,eν,eρ,eσ)\tilde{R}^\sigma{_{\mu\nu\rho}} = R(e^\mu,e^\nu,e^\rho,e_\sigma)

其中曲率的分量一般不写成显式，而是通过下面将要介绍的 Cartan 结构方程计算。

利用曲率和挠率在非坐标基下的分量，可以定义曲率2-形式和挠率2-形式

Tρ=12T~μνρ eμ∧eνT^\rho = \frac{1}{2} \tilde{T}^\rho_{\mu\nu} \,e^\mu \wedge e^\nu

Rμσ=12Rμνρσ eν∧eρR^\sigma_\mu = \frac{1}{2} R^\sigma_{\mu\nu\rho} \, e^\nu \wedge e^\rho

Cartan 第一结构方程

Cartan 第一结构方程 Cartan 第一结构方程为

deμ+ωνμ∧eν=Tμ\mathrm{d}e^\mu + \omega^\mu_\nu \wedge e^\nu = T^\mu

对于无挠联络，方程退化为

deμ+ωνμ∧eν=0\mathrm{d}e^\mu + \omega^\mu_\nu \wedge e^\nu = 0

Cartan第二结构方程

Cartan 第二结构方程 Cartan 第二结构方程为

dωνμ+ωρμ∧ωνρ=Rνμ\mathrm{d} \omega^\mu_\nu + \omega^\mu_\rho \wedge \omega^\rho_\nu = R^\mu_\nu


黎曼正规坐标

正规坐标的定义

给定黎曼流形 (M,g)(M,g) ，黎曼联络 ∇\nabla 是唯一的。但各点的联络系数 Γμνρ\Gamma^\rho_{\mu\nu} 并非唯一，因为联络系数定义中

∇∂∂xμ∂∂xν=Γμνρ∂∂xρ\nabla_{\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}} \frac{\partial}{\partial x^{\nu}}=\Gamma_{\mu\nu}^{\rho} \frac{\partial}{\partial x^{\rho}}

中的局部坐标系 {xμ}\{x^\mu\} 可以随意选取。通过恰当选取流形上一点 pp 附近的局部坐标，可以使此处的联络系数 Γμνρ(p)=0\Gamma_{\mu\nu}^{\rho} (p)=0 ，即在这一点附近成为平直空间，对应物理规律局部退化为平直时空的狭义相对论规律。这也意味着，pp 点的协变导数 ∇ρ\nabla_\rho 退化为普通导数 ∂ρ\partial_\rho ，曲率张量 RR 的表示也变得简单

Rμνρσ(p)=12(∂2gμσ∂xν∂xρ+∂2gνρ∂xμ∂xσ−∂2gμρ∂xν∂xσ−∂2gνσ∂xμ∂xρ)pR_{\mu \nu \rho \sigma} (p)=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial^{2} g_{\mu \sigma}}{\partial x^{\nu} \partial x^{\rho}}+\frac{\partial^{2} g_{\nu \rho}}{\partial x^{\mu} \partial x^{\sigma}}-\frac{\partial^{2} g_{\mu \rho}}{\partial x^{\nu} \partial x^{\sigma}}-\frac{\partial^{2} g_{\nu \sigma}}{\partial x^{\mu} \partial x^{\rho}}\right)_p

若进一步要求坐标基正交归一，则度规张量 gμνg_{\mu\nu} 在 pp 处还可以退化为闵氏度规 ημν\eta_{\mu\nu}，且一阶导数为 00

gμν(p)=ημν(p)∂ρgμν∣p=0g_{\mu\nu}(p) = \eta_{\mu\nu}(p) \qquad \partial_\rho g_{\mu\nu} |_p=0

但不幸的是，度规张量的二阶导数一般是非零的：∂ρ∂σgμν≠0\partial_\rho \partial_\sigma g_{\mu\nu} \neq 0 。

正规坐标 设 pp 为黎曼流形 (M,g)(M,g) 上任意固定的一点，在 pp 附近选取局部坐标 {xμ}\{x^\mu\} ，若黎曼联络系数 Γμνρ\Gamma^\rho_{\mu\nu} 在 pp 点为 00 ，则称局部坐标 {xμ}\{x^\mu\} 为黎曼正规坐标 (Riemann normal coordinates)，简称正规坐标。

正规坐标的构造

坐标变换

设 {yμ}\{y^\mu\} 为 p∈Mp\in M 附近的某一局部坐标系，在 {yμ}\{y^\mu\} 下的联络系数记为 Γ~μνρ\tilde{\Gamma}^\rho_{\mu\nu} 。不失一般性地，设 yμ(p)=0y^\mu(p)=0 。定义新的局部坐标 {xμ}\{x^\mu\} 如下

xμ=yμ+12Γ~νρμ(p)yνyρx^\mu = y^\mu+\frac{1}{2} \tilde{\Gamma}^\mu_{\nu\rho}(p) y^\nu y^\rho

则可推出

∂xμ∂yν=δνμ+Γ~νρμ(p)yρ∂2xμ∂yν∂yρ=Γ~νρμ(p)\frac{\partial x^\mu}{\partial y^\nu} = \delta^\mu_\nu + \tilde{\Gamma}^\mu_{\nu\rho}(p) y^\rho \qquad \frac{\partial^2 x^\mu}{\partial y^\nu \partial y^\rho} = \tilde{\Gamma}^\mu_{\nu\rho}(p)

代入联络系数在不同坐标系下的变换公式

Γμν′ρ=∂2xσ∂x′μ∂x′ν∂x′ρ∂xσ+∂xσ∂x′μ∂xτ∂x′ν∂x′ρ∂xλΓστλ\Gamma_{\mu \nu}^{\prime\rho}=\frac{\partial^2 x^{\sigma}}{\partial x^{\prime\mu} \partial x^{\prime\nu}} \frac{\partial x^{\prime\rho}}{\partial x^{\sigma}}+\frac{\partial x^{\sigma}}{\partial x^{\prime\mu}} \frac{\partial x^{\tau}}{\partial x^{\prime\nu}} \frac{\partial x^{\prime\rho}}{\partial x^{\lambda}} \Gamma_{\sigma \tau}^{\lambda}

立刻得到局部坐标系 {xμ}\{x^\mu\} 下的联络系数 Γμνρ\Gamma^\rho_{\mu\nu}在 pp 处为 00 。

/* 注：如果不取 yμ(p)=0y^\mu(p)=0 ，则需定义 xμ=yμ(p)+[yμ−yμ(p)]+12Γ~νρμ(p)[yν−yμ(p)][yρ−yμ(p)]x^\mu = y^\mu(p) + [y^\mu -y^\mu(p)]+\frac{1}{2} \tilde{\Gamma}^\mu_{\nu\rho}(p) [y^\nu - y^\mu(p) ][ y^\rho - y^\mu(p)] */

指数映射

待更


Fermi-Walker 移动

旋转

待更

局部惯性系

局部 Lorentz 标架 对于伪黎曼流形 (M,g)(M,g) 上任一点 pp ，在切空间中 TpMT_p M 选取一组非坐标基 {ea}\{e_a\} ，满足正交归一

⟨ea,eb⟩=g(ea,eb)=gμνeaμebν=ηab\langle e_a ,e_b \rangle = g(e_a,e_b) = g_{\mu\nu}e^\mu_a e^\nu_b = \eta_{ab}

其中 eaμe^\mu_a 是第 aa 个非坐标基在坐标基 {∂∂xμ}\left\{\frac{\partial}{\partial x^\mu}\right\} 下的投影，即 ea=eaμ∂∂xμe_a = e^\mu_a \frac{\partial}{\partial x^\mu} 。则称 {ea}\{e_a\} 是一个局部Lorentz标架，e0e_0 称为时间轴，eie_i 称为空间轴。切向量 XX 可分解为 X0e0+XieiX^0 e_0 + X^i e_i ，其中 X0e0X^0 e_0 称为 XX 的时间分量，XieiX^i e_i 称为 XX 的空间分量。

推论：在非坐标基 {ea}\{e_a\} 下 XX 的协变分量与逆变分量为

X0=g(e0,X)Xi=g(ei,X)X_0 = g(e_0,X) \qquad X_i = g(e_i,X)

X0=η0aXa=X0=g(e0,X)Xi=ηiaXa=−Xi=−g(ei,X)X^0 = \eta^{0a} X_a = X_0 = g(e_0,X) \qquad X^i = \eta^{ia}X_a = -X_i = - g(e_i,X)

/* 注：非坐标基的分量将使用 a,b,c,⋯a,b,c,\cdots 进行编号，而坐标基的分量将使用 μ,ν,ρ,⋯\mu,\nu,\rho,\cdots 进行编号，二者都取值 0,1,2,30,1,2,3 ，而拉丁字母 i,j,ki,j,k 仍约定为取值 1,2,31,2,3 */

若 XX 只含时间分量，则称 XX 为时间向量；若 XX 只含空间分量，则称 XX 为空间向量。

局部惯性系 对于一条世界线 γ(τ)\gamma(\tau) 上运动的观测者，其局部惯性系定义为满足 e0e_0 为归一化的切矢的局部 Lorentz 标架，即

e0=γ˙g(γ˙,γ˙)e_0 =\frac{\dot{\gamma}}{\sqrt{g(\dot{\gamma},\dot{\gamma})}}

推论1：局部惯性系中空间向量 WW 满足 g(γ˙,W)=0g(\dot{\gamma},W)=0 。

推论2：加速度与速度正交，即 g(e0,∇e0e0)=0g(e_0,\nabla_{e_0} e_0)=0 。

Fermi-Walker 联络

为了描述广义相对论中的空间旋转，必须定义一种合适的联络/平行移动 F:Γ(TM)×Γ(E)→Γ(E)\mathcal{F}: \varGamma(TM) \times \varGamma(E) \to \varGamma(E) ，将任意向量 XX 随着世界线 γ\gamma 平移的变化量 Fγ˙X\mathcal{F}_{\dot{\gamma}} X 限定于空间部分当中，即满足

  1. 将空间向量平行移动后仍然得到一个空间向量，即任意向量 WW 满足 g(γ˙,W)=0g(\dot{\gamma},W)=0，有 g(γ˙,Fγ˙W)=0g(\dot{\gamma},\mathcal{F}_{\dot{\gamma}} W)=0
  2. 时间向量在平行移动下不变，即 Fγ˙γ˙=0\mathcal{F}_{\dot{\gamma}} \dot{\gamma}=0

满足上述条件的就是 Fermi-Walker 联络。

Fermi-Walker 联络 对于一条类时世界线 γ\gamma ，其上的 Fermi-Walker 联络定义为

FXY=∇XY−g(X,Y)Aγ−g(Aγ,Y)X\mathcal{F}_X Y = \nabla_X Y - g(X,Y) A_\gamma -g(A_\gamma,Y)X

其中 X,YX,Y 是任意沿曲线定义的向量场，Aγ=∇γ˙γ˙A_\gamma = \nabla_{\dot{\gamma}} \dot{\gamma} 为加速度。

Fermi-Walker平移 对于沿类时世界线 γ\gamma 定义的向量场 XX ，若 Fγ˙X=0\mathcal{F}_{\dot{\gamma}} X=0，则称向量场 XX 是沿着 γ\gamma Fermi-Walker平移的，也称向量场 XX 是沿着 γ\gamma 无转动的。