广义相对论笔记（七）李群和李代数
fengxiaot Lv4
  2022-06-04 01:41:39 2022-06-04 01:41  

这篇文章是李群和李代数，主要目标是为广义相对论的学习服务。参考的教材为梁灿彬的《微分几何与广义相对论》、陈斌的《广义相对论》梅加强的《流形与几何初步》，分别是物理系和数学系的教材。

阅读本文时应当对有限群有一定基础。

李群

群 群 (G,⋅)(G,\cdot) 是由集合 GG 和二元运算 ⋅\cdot 构成的，符合群公理的数学结构。

群公理包含以下四条性质：

  1. 封闭性：对于所有 GG 中 a,ba,b ，运算 a⋅ba·b 的结果也在 GG 中
  2. 结合律：对于所有 GG 中的 a,ba,b 和 cc，等式 (a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)(a \cdot b) \cdot c=a \cdot (b \cdot c) 成立
  3. 单位元：存在 GG 中的一个元素 ee ，使得对于所有 GG 中的元素 aa ，总有等式 e⋅a=a⋅e=ae \cdot a=a \cdot e=a 成立，单位元又称幺元
  4. 逆元：对于每个 GG 中的 aa，存在 GG 中的一个元素 bb 使得总有 a⋅b=b⋅a=ea \cdot b=b \cdot a=e，此处 ee 为单位元；aa 的逆元记作 a−1a^{-1}

李群 设非空集合 GG 满足

  1. GG 是一个群
  2. GG 是一个微分流形
  3. GG 到自身的逆元映射 g↦g−1g \mapsto g^{-1} 光滑
  4. 乘积流形 G×GG \times G 到 GG 的群乘法映射 (g,h)↦gh∈G(g,h) \mapsto gh \in G 光滑

则称 GG 为李群。

/* 注：定义中的第3条要求可以省略，若第124条满足可证第三条亦满足 */

可平行化流形 设 MM 为微分流形，若存在光滑映射 ψ:TM→M×Rn\psi: TM \to M \times \mathbb{R}^n ，使得对 ∀p∈M\forall p \in M，ψ∣TpM:TpM→{p}×Rn\psi|_{T_p M}: T_p M \to \{p\} \times \mathbb{R}^n 为线性同构，则称 MM 是可平行化流形。

如果 MM 可平行化，则映射 ψ\psi 为微分同胚；并且 MM 可平行化当且仅当 MM 上存在处处线性无关的 nn 个光滑切向量场。


指数映射

左不变向量场

左移映射与右移映射 设 GG 为李群，给定 g∈Gg \in G ，定义左移映射 Lg:G→GL_g : G \to G 和右移映射 Rg:G→GR_g: G \to G

Lg(x)=gx, Rg(x)=xg∀x∈GL_g(x) = gx ,\ R_g (x) = xg \qquad \forall x\in G

则 LgL_g 和 RgR_g 均为 GG 上的微分同胚，是由群乘法自然诱导得到的。

左不变向量场 设 GG 为李群，给定单位元 ee 处的切向量 XeX_e ，令 gg 处的切向量 X(g)X(g) 为

X(g)=(Lg)∗XeX(g) = (L_g)_* X_e

即通过微分同胚 LgL_g 把 XeX_e 推前为 X(g)X(g) ，这样令 gg 取遍流形 GG 就得到一个向量场 XX ，称为由 Xe∈TeGX_e \in T_e G 生成的左不变向量场。

之所以称之为「左不变向量场」，是因为若再用某个左移映射 LhL_h 推前 XX，得到的仍然是向量场 XX

[(Lh)∗X]g=(Lh)∗X(h−1g)=(Lh)∗(Lh−1g)∗Xe=(Lg)∗Xe=X(g)\left[(L_h)_* X\right]_{g} = (L_h)_* X(h^{-1}g) = (L_h)_*(L_{h^{-1}g})_* X_e =(L_g)_* X_e =X(g)

其中第一个等号的来源是：因为 (Lh)∗X(L_h)_* X 是 XX 被推前 hh 得到的向量场，因此它在流形上某点 gg 处的向量是 h−1gh^{-1}g 处的原有向量 X(h−1g)X(h^{-1}g) 推前 hh 得到的。由上可知 (Lh)∗X=X, ∀h∈G(L_h)_* X = X,\ \forall h \in G ，即「左不变」。

可以证明，李群上的左不变向量场 XX 具有性质：

  1. XX 一定是光滑且完备的
  2. 左不变向量场 X,YX,Y 的李括号仍然为左不变向量场，即 (Lg)∗[X,Y]=[X,Y](L_g)_* [X,Y] = [X,Y]
  3. 设左不变向量场 XX 生成的的单参数变换群为 {ϕt}t∈R\{\phi_t\}_{t \in \mathbb{R}} ，则 ϕt∘ϕs(g)=ϕt(g)⋅ϕs(g)\phi_t \circ \phi_s (g) = \phi_t (g) \cdot\phi_s (g)，其中 ⋅\cdot 为群乘法
  4. 取 TeGT_e G 的一组基 {Xie}i=1n\left\{X_{ie}\right\}_{i=1}^n ，其生成的左不变向量场 {Xi}i=1n\left\{X_i\right\}_{i=1}^n 必定处处线性无关，从而李群可平行化

指数映射

指数映射 设 GG 为李群，任取 Xe∈TeGX_e \in T_e G，XeX_e 生成左不变向量场 XX ，XX 生成的单参数变换群为 {ϕt}t∈R\{\phi_t\}_{t \in \mathbb{R}} ，令

exp⁡:TeG→GXe↦ϕ1(e)\begin{aligned} \exp : T_e G &\to G \\ X_e &\mapsto \phi_1 (e) \end{aligned}

称 exp⁡\exp 为 GG 的指数映射。

指数映射有以下性质：设 Xe∈TeGX_e \in T_e G ，则

  1. exp⁡(0Xe)=ϕ0(e)=e, exp⁡(tXe)=ϕt(e)\exp(0 X_e) = \phi_0 (e) = e, \ \exp(t X_e) = \phi_t(e)
  2. exp⁡[(t1+t2)Xe]=exp⁡(t1Xe)⋅exp⁡(t2Xe)\exp \left[ \left( t_1 + t_2 \right) X_e \right] = \exp \left(t_1 X_e \right) \cdot \exp \left(t_2 X_e \right) ，其中 ⋅\cdot 为群乘法
  3. ϕt(g)=gexp⁡(tXe)\phi_t(g) = g \exp(t X_e)
  4. exp⁡(−tX)=exp⁡[(tX)]−1\exp(-t X) = \exp \left[ \left( t X\right) \right]^{-1}
  5. ddt∣t=0exp⁡(tXe)=Xe\left. \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \right|_{t=0} \exp (t X_e) = X_e
  6. 将 T0TeG≅RnT_0 T_e G \cong\mathbb{R}^n 与 TeG≅RnT_e G \cong \mathbb{R}^n 认同，则 exp⁡\exp 的切映射在 0∈TeG0 \in T_e G 处为恒等映射 id\mathrm{id} ，从而 exp⁡\exp 在 0∈TeG0\in T_e G 也即 e∈Ge \in G 附近成为微分同胚

如果说 ϕ(⋅,e)\phi(\cdot,e) 通过变动参数 t∈Rt \in \mathbb{R} 来标记终止点 ϕ(t,e)\phi(t,e)，那么 exp⁡(tXe)\exp(tX_e) 通过变动初始切向量 XeX_e 来标记终止点 ϕ(t,e)\phi(t,e)，二者给出的是同一条积分曲线。在定义积分曲线时，我们可以选定切向量场 XX ，变动 ϕ(⋅,p)\phi(\cdot,p) 中的 pp 来遍历流形上所有点。在此处，我们是否可以令切向量 XeX_e 遍历 TeGT_e G 内所有向量，从而得到流形上所有点呢？答案是肯定的，但需要一些条件。事实上这就是要求 exp⁡\exp 为满射。

定理：exp⁡\exp 为满射的条件为：
1．GG 为连通紧致李群
2．GG 为连通幂零李群
3．GG 为线性群 GL(n,F)GL(n,\mathbb{F})

此时 ∀g∈G\forall g \in G，存在 Xe∈TeGX_e \in T_e G ，使得 exp⁡(Xe)=ϕ1(e)=g\exp(X_e) = \phi_1(e) = g 。


李代数

李代数 域 F\mathbb{F} 上线性空间 g\mathfrak{g} 有二元运算 [⋅,⋅]:g×g→g[\cdot,\cdot]:\mathfrak{g} \times \mathfrak{g} \to \mathfrak{g} ，满足

  1. 双线性：[λX+μY,Z]=λ[X,Z]+μ[Y,Z],[X,λY+μZ]=λ[X,Y]+μ[X,Z][\lambda X+\mu Y, Z]=\lambda[X, Z]+\mu[Y, Z],[X,\lambda Y + \mu Z] =\lambda[X,Y] + \mu [X,Z]
  2. 反对称性：[X,Y]=−[Y,X][X, Y]=-[Y, X]
  3. Jacobi恒等式：[X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0[X,[Y, Z]]+[Y,[Z, X]]+[Z,[X, Y]]=0

其中 λ,μ∈R\lambda,\mu \in \mathbb{R} ，X,Y,Z∈gX,Y,Z \in \mathfrak{g} ，则称 g\mathfrak{g} 是一个李代数，二元运算 [⋅,⋅][\cdot,\cdot] 是李括号。

特殊地，若 g\mathfrak{g} 的李括号 [⋅,⋅][\cdot,\cdot] 满足 [X,Y]≡0[X, Y] \equiv 0 ，则称 g\mathfrak{g} 是一个交换李代数。

结构常数 设 X1,⋯ ,XnX_1,\cdots,X_n 是域 F\mathbb{F} 上李代数 g\mathfrak{g} 的一组基，基向量之间的李括号 [Xi,Xj]\left[X_i,X_j\right] 可以分解为

[Xi,Xj]=∑k=1nCijkXk\left[X_i,X_j\right] = \sum_{k=1}^n C^k_{ij} X_k

则称展开系数 Cijk (1≤i,j,k≤n)C^k_{ij} \ (1\le i,j,k \le n) 为 g\mathfrak{g} 对于基 X1,⋯ ,XnX_1,\cdots,X_n 的结构常数。

定理：若 g\mathfrak{g} 是 nn 维交换李代数，则对任何基，结构常数均为 00 。

任意数组 CijkC^k_{ij} 能构成 nn 维李代数 g\mathfrak{g} 的结构常数当且仅当：

  1. Ciik=0C_{i i}^{k}=0
  2. Cijk=−CjikC_{i j}^{k}=-C_{j i}^{k}
  3. ∑l=1n(CijlClkm+CkilCljm+CjklClim)=0\sum\limits_{l=1}^{n}\left(C_{i j}^{l} C_{l k}^{m}+C_{k i}^{l} C_{l j}^{m}+C_{j k}^{l} C_{l i}^{m}\right)=0

域 F\mathbb{F} 的特征不为 22 时，第一个条件可以去掉。

李群的李代数

李群的李代数 设 GG 为李群，TeGT_e G 是单位元 ee 处的切空间，对于 ∀Xe,Ye∈TeG\forall X_e,Y_e \in T_e G ，定义

[Xe,Ye]=[X,Y]e[X_e,Y_e] = [X,Y]_e

其中 X,YX,Y 分别为 Xe,YeX_e,Y_e 生成的左不变向量场，则 (TeG,[⋅,⋅])\left( T_e G, [\cdot,\cdot]\right) 成为李群上的李代数，记作 g\mathfrak{g} 。

伴随表示

李群的伴随作用 设 GG 为李群，对于任意的 g∈Gg \in G，可以定义李群的内自同构/伴随作用 Adg:G→GAd_g:G \to G 如下

Adgh=ghg−1∀h∈GAd_g h = g h g^{-1} \quad \forall h \in G

可以看出 AdgAd_g 实质上就是 Lg∘Rg−1L_g \circ R_{g^{-1}} 或 Rg−1∘LgR_{g^{-1}} \circ L_g 。

李代数的伴随作用 利用指数映射的性质和 g=exp⁡(tX)g= \exp(t X) ，可以将李群伴随作用 AdghAd_g h 中的群元用 g\mathfrak{g} 中切向量 XX 的指数映射替换，再利用 ddt∣t=0exp⁡(tXe)=Xe\left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \right|_{t=0} \exp (t X_e) = X_e 自然诱导出李代数 g\mathfrak{g} 上的伴随作用 ad:g→g\mathfrak{ad}:\mathfrak{g} \to \mathfrak{g} ，即

adXY=ddt∣t=0dds∣s=0etXesYe−tX\mathfrak{ad}_X Y= \left. \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \right|_{t=0}\left. \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s} \right|_{s=0} \mathrm{e}^{tX} \mathrm{e}^{sY}\mathrm{e}^{-tX}

其中 g=exp⁡(tX),h=exp⁡(sY)g= \exp(t X), h = \exp(sY) 为李群中的群元。可以证明，这样自然诱导出的李代数 g\mathfrak{g} 的伴随作用正是 g\mathfrak{g} 上的李括号，即 adXY=[X,Y]\mathfrak{ad}_X Y = [X,Y] 。


典型群的李代数

SO(n)的李代数

特殊正交群 SO(n)\mathrm{SO}(n) 定义为 R\mathbb{R} 上所有行列式为 11 的 nn 级正交矩阵构成的李群，即

SO(n)={Λ∈Rn×n:ΛTΛ=I,det⁡Λ=1}\mathrm{SO}(n)=\left\{\Lambda \in \mathbb{R}^{n \times n}: \Lambda^{T} \Lambda=I, \operatorname{det} \Lambda=1\right\}

对于任意 Λ∈SO(n)\Lambda \in \mathrm{SO}(n) ，假设可写作 Λ=etX\Lambda = \mathrm{e}^{tX}，其中 XX 是 n×nn\times n 实矩阵，则有

ΛT=etXTΛ−1=e−tX\Lambda^T = \mathrm{e}^{tX^T} \qquad \Lambda^{-1}=\mathrm{e}^{-tX}

根据 SO(n)\mathrm{SO}(n) 的定义，由 ΛT=Λ−1\Lambda^T = \Lambda^{-1} 可得 XT=−XX^T = -X ，即 XX 反对称；由 det⁡Λ=1\operatorname{det} \Lambda=1 可得 det⁡etX=ettr⁡X=1  ⟹  tr⁡X=0\det \mathrm{e}^{tX} = \mathrm{e}^{t \operatorname{tr}X}=1 \implies \operatorname{tr}X=0 ，即 XX 无迹。但反对称实矩阵必定无迹，因此 XT=−XX^T = -X 便是充分条件。最终得到 SO(n)\mathrm{SO}(n) 的李代数 so(n)\mathfrak{so}(n) 为

so(n)={X∈Rn×n:XT=−X}\mathfrak{so}(n) = \left\{X \in \mathbb{R}^{n \times n}: X^T=-X\right\}

李代数的维数也可由反对称矩阵的独立元素确定

dim⁡so(n)=12n(n−1)\dim \mathfrak{so}(n) = \frac{1}{2}n(n-1)

SU(n)的李代数

特殊酉群 SU(n)\mathrm{SU}(n) 定义为 C\mathbb{C} 上所有行列式为 11 的 nn 级Hermite矩阵构成的李群，即

SU(n)={U∈Cn×n:U†U=I,det⁡U=1}\mathrm{SU}(n)=\left\{U \in \mathbb{C}^{n \times n}: U^{\dagger} U= I, \operatorname{det} U=1\right\}

对于任意 U∈SU(n)U \in \mathrm{SU}(n) ，假设可写作 U=etXU = \mathrm{e}^{tX}，其中 XX 是 n×nn\times n 复矩阵，类似可得

so(n)={X∈Cn×n:X†=−X,tr⁡X=0}\mathfrak{so}(n) = \left\{X \in \mathbb{C}^{n \times n}: X^\dagger=-X,\operatorname{tr} X=0\right\}

/* 注：反Hermite矩阵的迹不一定为0，原因是反Hermite矩阵允许对角元为纯虚数，因此无迹条件需要保留 */

dim⁡Rsu(n)=12n(n−1)⋅2+n−1=n2−1\dim_\mathbb{R} \mathfrak{su}(n) = \frac{1}{2}n(n-1)\cdot2+n-1=n^2-1

SO(3)的李代数

首先将 SO(3)\mathrm{SO}(3) 参数化。对于任意 SO(3)\mathrm{SO}(3) 中的元素，可以表示为三个连续转动的乘积 R(α,β,γ)R(\alpha,\beta,\gamma)

R(α,β,γ)=[1000cos⁡α−sin⁡α0sin⁡αcos⁡α][cos⁡β0sin⁡β010−sin⁡β0cos⁡β][cos⁡γ−sin⁡γ0sin⁡γcos⁡γ0001]R(\alpha,\beta,\gamma) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \alpha & -\sin \alpha \\ 0 & \sin \alpha & \cos \alpha \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \beta & 0 & \sin\beta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin\beta & 0 & \cos\beta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos\gamma & -\sin\gamma & 0 \\ \sin\gamma & \cos\gamma & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

这三族矩阵分别是以 α,β,γ\alpha,\beta,\gamma 为参数的单参数变换群，可记作

ϕα=[1000cos⁡α−sin⁡α0sin⁡αcos⁡α],ϕβ=[cos⁡β0sin⁡β010−sin⁡β0cos⁡β],ϕγ=[cos⁡γ−sin⁡γ0sin⁡γcos⁡γ0001]\phi_\alpha = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \alpha & -\sin \alpha \\ 0 & \sin \alpha & \cos \alpha \\ \end{bmatrix},\phi_\beta = \begin{bmatrix} \cos \beta & 0 & \sin\beta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin\beta & 0 & \cos\beta \end{bmatrix},\phi_\gamma = \begin{bmatrix} \cos\gamma & -\sin\gamma & 0 \\ \sin\gamma & \cos\gamma & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

取 α,β,γ=0\alpha,\beta,\gamma =0 时得到恒等变换 id\mathrm{id} ，即单位矩阵，也即 SO(3)\mathrm{SO}(3) 群的单位元。

由 ddt∣t=0exp⁡(tXe)=Xe\left. \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \right|_{t=0} \exp (t X_e) = X_e ，立刻可以得到 ϕα,ϕβ,ϕγ\phi_\alpha,\phi_\beta,\phi_\gamma 对应的生成元 X1,X2,X3X_1,X_2,X_3

X1=ddα∣α=0ϕα=ddα∣α=0[1000cos⁡α−sin⁡α0sin⁡αcos⁡α]=[00000−1010]X_1 =\left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha} \right|_{\alpha=0} \phi_\alpha= \left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha} \right|_{\alpha=0} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \alpha & -\sin \alpha \\ 0 & \sin \alpha & \cos \alpha \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0\\ \end{bmatrix}

X2=ddβ∣β=0ϕβ=ddβ∣β=0[cos⁡β0sin⁡β010−sin⁡β0cos⁡β]=[001000−100]X_2 =\left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\beta} \right|_{\beta=0} \phi_\beta= \left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\beta} \right|_{\beta=0} \begin{bmatrix} \cos \beta & 0 & \sin\beta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin\beta & 0 & \cos\beta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}

X3=ddγ∣γ=0ϕγ=ddγ∣γ=0[cos⁡γ−sin⁡γ0sin⁡γcos⁡γ0001]=[0−10100000]X_3 =\left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\gamma} \right|_{\gamma=0} \phi_\gamma= \left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\gamma} \right|_{\gamma=0} \begin{bmatrix} \cos\gamma & -\sin\gamma & 0 \\ \sin\gamma & \cos\gamma & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix}

不难验证结构常数满足

[Xi,Xj]=εijkXk[X_i,X_j] = \varepsilon_{ij}{^k} X_k

其中 ε\varepsilon 是 Levi-Civita 符号。

从而沿 x,y,zx,y,z 轴的无穷小转动分别可以记作

ϕdα=I+dαX1,ϕdβ=I+dβX2,ϕdγ=I+dγX3\phi_{\mathrm{d}\alpha} = I + \mathrm{d}\alpha X_1 , \phi_{\mathrm{d}\beta} = I + \mathrm{d}\beta X_2,\phi_{\mathrm{d}\gamma} = I + \mathrm{d}\gamma X_3

SO(3)\mathrm{SO}(3) 的李代数 so(3)\mathfrak{so}(3) 为

so(3)=span⁡{X1,X2,X3}\mathfrak{so}(3) = \operatorname{span} \left\{X_1,X_2,X_3\right\}


SU(2)的李代数

首先将 SU(2)\mathrm{SU}(2) 参数化。常见的参数化方法包括欧拉角表示和四元数表示

U=[e−iα/200eiα/2][cos⁡β2−sin⁡β2sin⁡β2cos⁡β2][e−iγ/200eiγ/2]=[cos⁡β2e−i(α+γ)/2−sin⁡β2e−i(α−γ)/2sin⁡β2ei(α−γ)/2cos⁡β2ei(α+γ)/2]U=\begin{bmatrix} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \alpha / 2} & 0 \\ 0 & \mathrm{e}^{\mathrm{i} \alpha / 2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \cos \frac{\beta}{2} & -\sin \frac{\beta}{2} \\ \sin \frac{\beta}{2} & \cos \frac{\beta}{2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \gamma / 2} & 0 \\ 0 & \mathrm{e}^{\mathrm{i} \gamma / 2} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \cos \frac{\beta}{2} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}(\alpha+\gamma) / 2} & -\sin \frac{\beta}{2} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}(\alpha-\gamma) / 2} \\ \sin \frac{\beta}{2} \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\alpha-\gamma) / 2} & \cos \frac{\beta}{2} \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\alpha+\gamma) / 2} \end{bmatrix}

U=[q0+iq3iq1+q2iq1−q2q0−iq3]U= \begin{bmatrix} q_0 + \mathrm{i}q_3 & \mathrm{i}q_1 +q_2 \\ \mathrm{i} q_1 - q_2 & q_0 - \mathrm{i}q_3 \end{bmatrix}

其中 q0,qi∈Rq_0,q_i \in \mathbb{R} 为实数，且有约束 q02+q2=1q_0^2 + \boldsymbol{q}^2=1 。

但是使用欧拉角参数化将无法得到正确的李代数。因为 SU(2)\mathrm{SU}(2) 的单位元使用欧拉角表述并不唯一，对于满足 β=0,α+γ=0\beta=0,\alpha+\gamma=0 的任意 α,β,γ\alpha,\beta,\gamma 都能得到单位矩阵。因此必须使用四元数参数化，这更加贴近 SU(2)\mathrm{SU}(2) 的原始定义。易知四元数参数化下 SU(2)\mathrm{SU}(2) 的单位元对应 q0=1,qi=0q_0=1,q_i=0 。

选取 q1,q2,q3q_1,q_2,q_3 为独立变量，则约束条件可表为 2q0∂q0∂qi+2qi=02q_0 \frac{\partial q_0}{\partial q_i} + 2q_i=0 ，进而可求得

X1=∂∂q1∣q0=1,qi=0[q0+iq3iq1+q2iq1−q2q0−iq3]=[0ii0]X_1 = \frac{\partial}{\partial q_1} \bigg|_{q_0=1,q_i=0} \begin{bmatrix} q_0 + \mathrm{i}q_3 & \mathrm{i}q_1 +q_2 \\ \mathrm{i} q_1 - q_2 & q_0 - \mathrm{i}q_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & \mathrm{i} \\ \mathrm{i} & 0 \end{bmatrix}

X2=∂∂q2∣q0=1,qi=0[q0+iq3iq1+q2iq1−q2q0−iq3]=[01−10]X_2 = \frac{\partial}{\partial q_2} \bigg|_{q_0=1,q_i=0} \begin{bmatrix} q_0 + \mathrm{i}q_3 & \mathrm{i}q_1 +q_2 \\ \mathrm{i} q_1 - q_2 & q_0 - \mathrm{i}q_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}

X3=∂∂q3∣q0=1,qi=0[q0+iq3iq1+q2iq1−q2q0−iq3]=[i00−i]X_3 = \frac{\partial}{\partial q_3} \bigg|_{q_0=1,q_i=0} \begin{bmatrix} q_0 + \mathrm{i}q_3 & \mathrm{i}q_1 +q_2 \\ \mathrm{i} q_1 - q_2 & q_0 - \mathrm{i}q_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathrm{i} & 0 \\ 0 & -\mathrm{i} \end{bmatrix}

可见 X1,X2,X3X_1,X_2,X_3 都是反Hermite无迹的，印证了上面的论述。从而得到

U=exp⁡(q1X1+q2X2+q3X3)=eq⋅XU=\exp(q_1X_1+q_2X_2+q_3X_3) = \mathrm{e}^{\boldsymbol{q}\cdot \boldsymbol{X}}

物理中习惯使用Hermite矩阵，因此我们将 X1,X2,X3X_1,X_2,X_3 乘 −i-\mathrm{i} 得到著名的 Pauli 矩阵

σ1=[0110]σ2=[0−ii0]σ3=[100−1]\sigma_1 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \qquad \sigma_2=\begin{bmatrix} 0 & -\mathrm{i} \\ \mathrm{i} & 0 \end{bmatrix} \qquad \sigma_3= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}

这样 SU(2)\mathrm{SU}(2) 中的任意元素表为

U=exp⁡(iq1σ1+iq2σ2+iq3σ3)=eiq⋅σU=\exp(\mathrm{i} q_1\sigma_1+\mathrm{i} q_2 \sigma_2+\mathrm{i} q_3 \sigma_3) = \mathrm{e}^{\mathrm{i} \boldsymbol{q}\cdot \boldsymbol{\sigma}}

SU(2)\mathrm{SU}(2) 的李代数 su(2)\mathfrak{su}(2) 为

so(3)=span⁡{σ1,σ2,σ3}\mathfrak{so}(3) = \operatorname{span} \left\{\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3\right\}