光学笔记（六）色散与群速

本文梳理一下色散与群速，插图主要来自钟锡华老师和赵凯华老师合编的《光学》。

吸收

光的强度随穿进介质的深度而减少的现象，称为介质对光的吸收。仔细的研究表明：这里还应区分真吸收和散射两种情况，前者是光能真被介质吸收后转化为热能，后者则是光被介质中的不均匀性散射到四面八方。

光强随穿透介质的深度 $l$ 满足指数衰减，称为朗伯定律，用数学语言表述

$$I=I_{0} \mathrm{e}^{-\alpha l}$$

式中 $I_0$ 和 $I$ 分别为 $x=0$ 和 $x=l$ 处的光强。$\alpha$ 的量纲是长度的倒数，称为该物质的吸收系数。吸收系数可以分成两部分 $\alpha = \alpha_\text{a} + \alpha_\text{s}$ ，前者是真吸收系数，后者是散射系数。

散射

基础概念

由于介质中的不均匀性，光线朝四面八方传播而非遵循几何光学定律，这种现象称为光的散射。

按不均匀团块的性质，散射可分为两大类：

1. 悬浮质点的散射：如胶体、乳浊液、含有烟、雾、灰尘的大气中的散射属于此类。

2. 分子散射：即使十分纯净的液体或气体，也能产生比较微弱的散射。这是由于分子热运动造成密度的局部涨落引起的。这种散射，称为分子散射。物质处在临界点时密度涨落很大。光线照射在其上，就会发生强烈的分子散射。这种现象叫做临界乳光。

瑞利散射定律

当散射体的尺度比光的波长小时，作用在散射体上的电场可视为交变的均匀场，散射体在这样的场中极化，感生电偶极矩，继而产生偶极散射。根据电动力学，偶极散射规律为

$$\bm{E}_{\mathrm{sc}}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} k^{2} \frac{e^{i k r}}{r}[(\bm{n} \times \bm{p}) \times \bm{n}-\bm{n} \times \bm{m} /c] \propto \frac{k^2 \bm{p}}{r}$$

因此辐射功率

$$P \propto \bm{E}_{\mathrm{sc}}^2 \propto k^4 \propto \frac{1}{\lambda^4}$$

因此，散射光强与 $\lambda^4$ 成反比，称为瑞利散射定律。

关于散射问题还可以引出微分散射截面的概念。如果入射波的方向是 $\bm{n}_0$，它的偏振方向为 $\bm{e}_0$，那么单位入射波的能流所产生的散射波在方向 $\bm{n}$ 的立体角中并且具有偏振方向 $\bm{e}$ 的辐射波功率被称为相应的微分散射截面。对于偶极散射，微分散射截面为

$$\frac{\mathrm{d}\sigma}{\mathrm{d} \Omega} =k^{4} a^{6}\left|\left(\frac{\epsilon_{r}-1}{\epsilon_{r}+2}\right)\left(\bm{e} \cdot \bm{e}_{0}\right)+\left(\frac{\mu_{r}-1}{\mu_{r}+2}\right)\left(\bm{n} \times \bm{e}\right) \cdot\left(\bm{n}_{0} \times \bm{e}_{0}\right)\right|^{2} \propto k^4 \propto \frac{1}{\lambda^4}$$

可见微分散射截面也与 $\lambda^4$ 成反比，从而波长越短散射作用越强。

Q：天空为什么是蔚蓝色的？夕阳为什么是红色的？

A：首先，白昼天空之所以是亮的，完全是大气散射阳光的结果。由于大气的散射，将阳光从各个方向射向观察者，我们才看到了光亮的天穹。按瑞利定律，白光中短波成分（蓝紫色）的散射强度比长波成分（红黄色），散射光乃因短波的富集而呈蔚蓝色。尤其是雨过天晴或秋高气爽时，空气中尘埃较少，以分子散射为主，天空会格外蓝。

A：当日落或日出时，太阳几乎在我们视线的正前方，此时太阳光在大气中要走相对很长的路程，空气对穿过它的光线有散射作用。通过空气的光线会有一部分偏离原来的运动方向而离开了原来的光束，且由散射截面，光的波长越短散射作用越大。太阳光穿过空气时偏蓝的光散射的多，偏红的光散射的少。我们所看到的直射光中的波长较短蓝光大量都被散射了，只剩下红橙色的光，这就是为什么日落时太阳附近呈现红色。

拉曼散射

散射光中除与入射光的原有频率 $\omega_0$ 相同的瑞利散射线外，谱线两侧还有频率为 $\omega_0 \pm \omega_1,\omega_0 \pm \omega_2,\cdots$ 等散射线存在。这种现象称为拉曼散射。拉曼散射中的频率差 $\omega_j \ (j \in \mathbb{N}^*)$ 与入射光的频率 $\omega_0$ 无关，它们与散射物质的红外吸收频率对应，表征了散射物质的分子振动频率。

色散

光在介质中的折射率 $n$ 随波长 $λ$ 而异的现象，称为色散。

正常色散有经验公式，称为 Cauchy 公式

$$n = A + \frac{B}{\lambda^2}$$

反常色散指色散曲线在吸收带附近与 Cauchy 公式有很大偏离。

红光波长最长，频率最低；紫光波长最短，频率最高。

群速

当波包通过有色散的介质时，它的各个单色分量将以不同的相速前进，整个波包在向前传播的同时，形状亦随之改变。我们把波包中振幅最大的地方叫做它的中心，波包中心前进的速度叫做群速，记作 $v_\mathrm{g}$ ，定义为

$$v_\mathrm{g} = \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d} k}$$

群速的公式还可表示为一些其他形式。由相速定义式 $\omega = k v_\mathrm{p}$ ，可知

$$v_{\mathrm{g}}=v_{\mathrm{p}}+k \frac{\mathrm{d} v_{\mathrm{p}}}{\mathrm{d} k}=v_{\mathrm{p}}-\lambda \frac{\mathrm{d} v_{\mathrm{p}}}{\mathrm{d} \lambda}$$

由折射率定义 $v_\mathrm{p} = c/n$ ，可知

$$v_{\mathrm{g}}=\frac{c}{n}\left(1+\frac{\lambda}{n} \frac{\mathrm{d} n}{\mathrm{d} \lambda}\right)$$

若已知折射率的色散关系 $n=n(\lambda)$ ，可用此式计算群速。