广义相对论笔记（三）联络

这篇文章是流形上的联络，主要目标是为广义相对论的学习服务。参考的教材为梁灿彬的《微分几何与广义相对论》、陈斌的《广义相对论》梅加强的《流形与几何初步》，分别是物理系和数学系的教材。最近 A-SOUL 给我的打击很大，博客停更了一段时间。希望广义相对论的学习能帮助调整状态吧。

曲线

曲线的定义

曲线 设 $I$ 为 $\mathbb{R}$ 的一个区间，则 $C^r$ 映射 $C: I \to M$ 称为 $M$ 上的一条 $C^r$ 曲线。对于任意 $t \in I$，有唯一的点 $C(t) \in M$ 与之对应，$t$ 称为曲线的参数。

/* 注：上述定义的曲线是映射本身，而非传统意义上映射的像。因此若 $\mathbb{R}$ 上两个不同的区间通过不同的映射方法映射到流形上同一个点集，也被视作不同曲线，或视为曲线的重参数化。 */

曲线的参数方程 设流形 $M$ 上有局部坐标卡 $(U,\varphi)$ ，$C(t) \subset U$，则 $\varphi \circ C$ 是从 $\mathbb{R}$ 到 $\mathbb{R}^n$ 的映射，即

$$\begin{aligned} \varphi \circ C: I&\to \R^n \\ t &\mapsto (x^1(C(t)), x^2(C(t)), \cdots, x^n(C(t))) \end{aligned}$$

这 $n$ 个等式 $x^\mu = x^\mu (t)$ 称为曲线的参数方程。

曲线的切矢量

曲线的切矢量 设 $C(t)$ 是流形 $M$ 上的 $C^1$ 曲线，则 $C(t_0)$ 点相对于 $C(t)$ 的切矢量 $T |_{C(t_0)}$ 定义为

$$T |_{C(t_0)} (f) = \frac{\mathrm{d} (f \circ C)}{\mathrm{d}t} \bigg|_{t_0} \ ,\ \forall f \in C^\infty (M)$$

切矢量 $T$ 也被记作 $\frac{\partial}{\partial t}$ ，因此曲线上某点 $C(t_0)$ 的切矢量也可以写成

$$\frac{\partial f}{\partial t} \bigg|_{C(t_0)} =\frac{\mathrm{d} (f \circ C)}{\mathrm{d}t} \bigg|_{t_0}$$

由此易证曲线某点的切矢量在该点切空间基底上的分解为

$$\frac{\partial}{\partial t} = \frac{\mathrm{d} (x^\mu \circ C)}{\mathrm{d}t} \frac{\partial}{\partial x^\mu}$$

Proof

根据某点切矢量的分解公式

$$X_{p}=\left.\sum_{\mu=1}^{n}\left(X_{p} x^{\mu}\right) \frac{\partial}{\partial x^{\mu}}\right|_{p}$$

立刻得到

$$\frac{\partial}{\partial t} = \frac{\partial x^\mu}{\partial t} \frac{\partial}{\partial x^\mu} = \frac{\mathrm{d} (x^\mu \circ C)}{\mathrm{d}t} \frac{\partial}{\partial x^\mu}$$

重参数化

重参数化 设 $C: I \to M$ 和 $C^\prime: I^\prime \to M$ 为流形 $M$ 上的两条曲线，若 $C$ 与 $C^\prime$ 的像相同，则称 $C^\prime$ 是曲线 $C$ 的重参数化。

定理：设曲线 $C^\prime: I^\prime \to M$ 是 $C: I \to M$ 的重参数化，曲线的参数分别为 $C(t),\, t\in I$ 和 $C^\prime,\, t^\prime \in I^\prime$，则二者在任一像点的切向量 $\frac{\partial}{\partial t}$ 和 $\frac{\partial}{\partial t^\prime}$ 有如下关系

$$\frac{\partial}{\partial t} = \frac{\mathrm{d} t^\prime}{\mathrm{d}t} \frac{\partial}{\partial t^\prime}$$

即切向量是平行的。

积分曲线

积分曲线 设 $X$ 为光滑向量场，$\sigma : \mathbb{R} \to M$ 为光滑曲线，$\sigma^\prime(t) = \frac{\partial}{\partial t}$ 为其切向量。若对于任意的 $\sigma(t) \in M$ ，曲线在该点的切向量等于向量场 $X$ 在该点的值，即

$$\sigma^\prime(t) = X_{\sigma(t)}$$

则称 $\sigma(t)$ 是向量场 $X$ 的积分曲线或流线。

积分曲线存在唯一性定理：给定实数 $t\in \R$ ，流形上的点 $p$ ，光滑向量场 $X$ ，存在唯一的曲线 $\sigma : (t-\varepsilon,t+\varepsilon) \to M$， $\varepsilon$ 是小量，使得 $\sigma^\prime(t) = X_{\sigma(t)}$ 且 $\sigma(t) = p$ 。

Proof

将 $X$ 在局部坐标系 $\{x^\mu\}$ 中展开为，则在 $t$ 的邻域内有如下 $n$ 个常微分方程和 $n$ 个初始条件

$$\begin{cases} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(x^{\mu} \circ \sigma\right)=X^{\mu}\left(x^{1} \circ \sigma, x^{2} \circ \sigma, \cdots, x^{n} \circ \sigma\right) \\ x^{\mu} \circ \sigma(t)=x^{\mu}(p),\ \mu=1,2, \cdots, n \end{cases}$$

由常微分方程解的存在唯一性知，这个方程组在局部上的解是存在唯一的。

积分曲线存在唯一性定理是说，倘若我们规定曲线在某点的值，并要求它是某个向量场 $X$ 的积分曲线，则这个曲线在该点邻域内就被唯一确定。类似于，给定物体在某一时刻的初始位置，并要求在该点的速度向量为 $X$，则物体在一小段时间内的轨迹是唯一确定的。

由此启发我们引出单参数变换群的概念。我们可以以流形 $M$ 上任意一点 $p$ 为起点，沿着向量场 $X$ 的积分曲线 $\phi$ 到达流形上另一点，并规定起点对应 $t=0$ ，记作 $\phi(0,p)$，终点记作 $\phi(t,p)$ 。这样，一方面对于给定的 $p$ ，当 $t$ 走遍整个 $\R$ 时，$\phi(\cdot,p)$ 能够在流形 $M$ 上划出一段轨迹，给出向量场的流线。另一方面，对于给定的 $t$ ，$\phi(t,\cdot):M \to M$ 给出了一个微分同胚，从流形上一点 $p$ 出发沿着向量场 $X$ 行走时间 $t$ 到达流形上另一点 $\phi(t,p)$ ，即把 $p$ 映射为 $\phi(t,p)$ 。

单参数变换群

局部单参数变换群 给定向量场 $X$ 和流形上一点 $p$ ，则存在唯一的映射 $\phi: \mathbb{R} \times M \to M$ 满足

1. $\phi(0,p)=p$ /* 利用第三条的规定也可以写成 $\phi_0 = \mathrm{id}$ */

2. $\phi(\cdot,p)$ 是 $X$ 的积分曲线

3. 规定 $\phi_t(p) \equiv \phi(t,p)$ ，则 $\phi_t: M \to M$ 是微分同胚，且对于 $\forall s,t \in \R$ 有

   $$\phi_{s+t} = \phi_s \circ \phi_t$$

则称 $\{\phi_t\} (t \in \mathbb{R})$ 为由 $X$ 生成的一族局部单参数变换群，$X$ 称为单参数变换群的无穷小生成元，$\phi_t$ 称为向量场 $X$ 的流。

之所以称为「局部」，是因为积分曲线存在唯一性定理证明过程中，要在局部坐标系 $\{x^\mu\}$ 中展开。

单参数变换群 依赖于参数 $t \in \R$ 的一族微分同胚 $\{\phi_t\}$ 如果满足下列条件：

1. $\phi: \mathbb{R} \times M \rightarrow M, \phi(t, p)=\phi_{t}(p)$ 为光滑映射
2. $\phi_0 = \mathrm{id}$
3. $\phi_{s+t} = \phi_s \circ \phi_t$

则称之为光滑单参数变换群。

Lie 括号

Lie 括号的定义

Lie括号 设 $X, Y$ 为 $M$ 上的光滑向量场，给定 $p \in M$，定义

$$[X, Y]_{p} f=X_{p}(Y f)-Y_{p}(X f), \quad \forall f \in C^{\infty}(M)$$

可证 $[X, Y ]_p \in T_p M$，因而 $[X, Y]$ 定义了一个新的光滑向量场，称为 $X$ 和 $Y$ 的 Lie 括号。

Proof

显然 $[X, Y]$ 满足线性性，只需验证其满足 Leibniz 律，设其作用于函数 $fg$ 上，有

$$\begin{aligned} {[X, Y]_{p}(f g)=} & X_{p}(Y(f g))-Y_{p}(X(f g)) \\ =& X_{p}(f \cdot Y g+g \cdot Y f)-Y_{p}(f \cdot X g+g \cdot X f) \\ =& f(p) X_{p}(Y g)+\left(Y_{p} g\right) \cdot X_{p} f+g(p) X_{p}(Y f)+\left(Y_{p} f\right) X_{p} g \\ &-f(p) Y_{p}(X g)-\left(X_{p} g\right)\left(Y_{p} f\right)-g(p) Y_{p}(X f)-\left(X_{p} f\right)\left(Y_{p} g\right) \\ =& f(p)\left[X_{p}(Y g)-Y_{p}(X g)\right]+g(p)\left[X_{p}(Y f)-Y_{p}(X f)\right] \\ =& f(p)[X, Y]_{p} g+g(p)[X, Y]_{p} f \end{aligned}$$

对于函数 $f$ ，按照之前定义的映射方式，$[X, Y]$ 作用于其上也可以得到一个新函数

$$[X,Y] f = X(Yf)-Y(Xf)$$

Lie 括号的性质

1. 反对称性：$[X, Y]=-[Y, X]$
2. 双线性：$[\lambda X+\mu Y, Z]=\lambda[X, Z]+\mu[Y, Z], \quad \forall \lambda,\mu \in \mathbb{R}$
3. 函数加减：$[fX+ gY, Z]=[fX, Z]+[gY, Z], \quad \forall f,g \in C^\infty(M)$
4. 函数数乘：$[f X, g Y]=f(X g) Y-g(Y f) X+f g[X, Y] , \quad \forall f,g \in C^\infty(M)$
5. Jacobi恒等式：$[X,[Y, Z]]+[Y,[Z, X]]+[Z,[X, Y]]=0$
6. 坐标基对易：$\left[ \frac{\partial}{\partial x^\mu}, \frac{\partial}{\partial x^\nu}\right]=0$

定理：设 $X_1,\cdots,X_n$ 为 $M$ 上的光滑向量场，$p \in M$ 是流形上一点。若 $X_\mu \,(1\le \mu \le n)$ 在 $p$ 处线性无关，且 $[X_\mu, X_\nu]=0 \, (1 \le \mu , \nu \le n)$，则存在 $p$ 附近的局部坐标 ${x^\mu}$ ，使得

$$X_\mu = \frac{\partial}{\partial x^\mu} , \, 1\le \mu \le n$$

即对易的向量场可生成一组局部坐标。

联络

联络的定义

联络 满足以下条件的算子 $\nabla : \varGamma (TM) \times \varGamma(E) \to \varGamma(E)$ 称为向量丛 $E$ 上的一个联络

1. 第一分量线性：$\nabla_{f X+g Y} V=f \nabla_{X} V+g \nabla_{Y} V$
2. 第二分量线性：$\nabla_{X}\left(V_{1}+V_{2}\right)=\nabla_{X} V_{1}+\nabla_{X} V_{2}$
3. Leibniz律：$\nabla_{X}(f V)=(X f) V+f \nabla_{X} V$

其中 $X,Y \in \varGamma(T M)$ 是切向量，$V \in \varGamma(E)$ 是向量场，$f,g \in C^{\infty}(M)$ 是 $M$ 上的函数。

特殊地，取 $E=TM$ 为流形上的切丛，$\varGamma(E)$ 为切向量场，则此时联络 $\nabla$ 称为流形 $M$ 上的仿射联络。

Christoffel 系数

Hessian 张量

Hessian 张量 设 $\nabla$ 为 $M$ 上的仿射联络，$f$ 为光滑函数，定义 $\nabla^2 f$ 为

$$\nabla^2 f (X,Y) =Y(Xf) - (\nabla_Y X) f$$

则可证 $\nabla^2 f$ 为 $M$ 上的二阶协变张量场，称为函数 $f$ 在仿射联络下的 Hessian 张量，类似于欧氏空间中的 Hessian 矩阵。

/* 注：需要区分 $(\nabla_Y X) f \in C^\infty (M)$，$\nabla_Y (X f) = Y (Xf) \in C^\infty (M)$，和 $f \nabla_Y X \in \mathfrak{X} (M)$ 三者的区别*/

Proof

要证 $\nabla^2 f$ 为 $M$ 上的二阶协变张量场，只需说明 $\nabla^2 f$ 关于 $X, Y$ 是函数线性的即可。关于 $Y$ 的函数线性性是显然的，以下验证关于 $X$ 的函数线性性。设 $\phi$ 为光滑函数，则

$$\begin{aligned} Y(\phi X f)-\nabla_{Y}(\phi X) f &=(Y \phi) X f+\phi \cdot Y(X f)-\left[(Y \phi) X f+\phi (\nabla_{Y} X) f\right] \\ &=\phi\left[Y(X f)-(\nabla_Y X) f\right] \end{aligned}$$

因此 $\nabla^2 f$ 关于 $Y$ 是函数线性的。

欧氏空间中的 Hessian 矩阵是对称矩阵，但 Hessian 张量并不一定是二阶对称张量。这是因为仿射联络 $\nabla$ 和平直空间的 $\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}$ 有所区别，请看下面的挠率张量和 Christoffel 系数。

挠率

挠率 设 $\nabla$ 为 $M$ 上的仿射联络，定义场张量 $T: \mathfrak{X} (M) \times \mathfrak{X} (M) \to \mathfrak{X} (M)$ 如下：任给切向量场 $X,Y \in \mathfrak{X} (M)$ ，规定

$$T(X, Y) = \nabla_X Y - \nabla_Y X - [X, Y]$$

则 $T$ 称为 $(M,\nabla)$ 的挠率。未给定切向量场时，$T$ 为 $M$ 上的 $(1,2)$ 型张量。

Proof

要证 $T$ 为 $M$ 上的 $(1,2)$ 型张量，只需说明 $T(X, Y)$ 关于 $X, Y$ 是函数线性的即可。显然，$T(X, Y)$ 关于 $X, Y$ 具有反称性。以下说明 $T$ 关于 $X$ 的函数线性性。设 $\phi$ 为光滑函数，则

$$\begin{aligned} T(\phi X, Y) &=\nabla_{\phi X} Y-\nabla_{Y}(\phi X)-[\phi X, Y] \\ &=\phi \nabla_{X} Y-(Y \phi) X-\phi \nabla_{Y} X-\phi[X, Y]+(Y \phi) X \\ &=\phi T(X, Y) \end{aligned}$$

再利用反对称性，就得到 $T(X, Y)$ 关于 $X, Y$ 是函数线性的。

如果挠率张量 $T \equiv 0$，则称仿射联络 $\nabla$ 是无挠的或对称的。对于无挠的仿射联络，函数 $f$ 的 Hessian 张量是对称的二阶协变张量场。

Christoffel 系数

Christoffel 系数 设 $\{x^\mu\}$ 为 $M$ 的局部坐标系，则 $\left\{ \frac{\partial}{\partial x^{\mu}} \right\}$ 为局部基向量场。设 $\nabla$ 为仿射联络，则记

$$\nabla_{\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}} \frac{\partial}{\partial x^{\nu}}=\Gamma_{\mu\nu}^{\rho} \frac{\partial}{\partial x^{\rho}}$$

其中 $\Gamma_{\mu\nu}^{\rho}$ 是和坐标架相关的局部函数，称为仿射联络的 Christoffel 系数或联络系数。

引入 Christoffel 系数后，挠率可以计算如下

$$T\left(\mathrm{d}x^\rho,\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}, \frac{\partial}{\partial x^{\nu}}\right)=\Gamma_{\mu\nu}^{\rho}-\Gamma_{\nu\mu}^{\rho}$$

由此可见，$\nabla$ 为无挠联络当且仅当 $\Gamma_{\mu\nu}^{\rho}$ 关于指标 $\mu,\nu$ 是对称的，即 $\Gamma_{\mu\nu}^{\rho}=\Gamma_{\nu\mu}^{\rho}$ 。

Christoffel 系数在不同坐标系的变换公式为

$$\Gamma_{\mu \nu}^{\prime\rho}=\frac{\partial^2 x^{\sigma}}{\partial x^{\prime\mu} \partial x^{\prime\nu}} \frac{\partial x^{\prime\rho}}{\partial x^{\sigma}}+\frac{\partial x^{\sigma}}{\partial x^{\prime\mu}} \frac{\partial x^{\tau}}{\partial x^{\prime\nu}} \frac{\partial x^{\prime\rho}}{\partial x^{\lambda}} \Gamma_{\sigma \tau}^{\lambda}$$

Proof

设 $\nabla$ 为 $M$ 的仿射联络，$M$ 的坐标卡 $(U_\alpha,\varphi_\alpha)$ 和 $(U_\beta,\varphi_\beta)$ 分别有一套局部坐标 $\{x^i\}$ 和 $\{x^{\prime i}\}$ ，$\nabla$ 在这两个坐标卡下的联络系数分别为 $\Gamma_{\mu\nu}^{\rho}$ 和 $\Gamma_{\mu\nu}^{\prime\rho}$ ，则在 $U_\alpha \cap U_\beta$ 上有

$$\nabla_{\frac{\partial}{\partial x^{\prime\mu}}} \frac{\partial}{\partial x^{\prime\nu}} = \nabla_{\frac{\partial x^{\sigma}}{\partial x^{\prime\mu}}\frac{\partial}{\partial x^{\sigma}}} \left(\frac{\partial x^{\tau}}{\partial x^{\prime\nu}}\frac{ \partial}{\partial x^{\tau}} \right) = \left( \frac{\partial^2 x^{\rho}}{\partial x^{\prime\mu} \partial x^{\prime\nu}}+\frac{\partial x^{\sigma}}{\partial x^{\prime\mu}} \frac{\partial x^{\tau}}{\partial x^{\prime\nu}} \Gamma_{\sigma \tau}^{\rho} \right) \frac{\partial}{\partial x^{\rho}}$$

因此

$$\Gamma_{\mu\nu}^{\prime\rho} = \mathrm{d} x^{\prime\rho} \left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial x^{\prime\mu}}} \frac{\partial}{\partial x^{\prime\nu}} \right) = \frac{\partial x^{\prime\rho}}{\partial x^{\lambda}}\mathrm{d} x^{\lambda} \left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial x^{\prime\mu}}} \frac{\partial}{\partial x^{\prime\nu}} \right) = \frac{\partial^2 x^{\sigma}}{\partial x^{\prime\mu} \partial x^{\prime\nu}} \frac{\partial x^{\prime\rho}}{\partial x^{\sigma}}+\frac{\partial x^{\sigma}}{\partial x^{\prime\mu}} \frac{\partial x^{\tau}}{\partial x^{\prime\nu}} \frac{\partial x^{\prime\rho}}{\partial x^{\lambda}} \Gamma_{\sigma \tau}^{\lambda}$$

定理：任意两个 Christoffel 系数之差是一个 $(1,2)$ 型张量的分量。

Proof

设 $\{x^\mu\}$ 和 $\{x^{\prime\mu}\}$ 均为 $M$ 的局部坐标系，$\nabla$ 和 $\tilde{\nabla}$ 是 $M$ 的两个不同仿射联络，对应的联络系数在坐标卡 $\{x^\mu\}$ 下分别为 $\Gamma_{\mu\nu}^{\rho}$ 和 $\tilde{\Gamma}_{\mu\nu}^{\rho}$ ，则在坐标卡 $\{x^{\prime\mu}\}$ 下的联络系数的差为

$$\begin{aligned} \tilde{\Gamma}_{\mu\nu}^{\prime\rho} - \Gamma_{\mu\nu}^{\prime\rho} &= \frac{\partial^2 x^{\sigma}}{\partial x^{\prime\mu} \partial x^{\prime\nu}} \frac{\partial x^{\prime\rho}}{\partial x^{\sigma}}+\frac{\partial x^{\sigma}}{\partial x^{\prime\mu}} \frac{\partial x^{\tau}}{\partial x^{\prime\nu}} \frac{\partial x^{\prime\rho}}{\partial x^{\lambda}} \tilde{\Gamma}_{\sigma \tau}^{\lambda} - \frac{\partial^2 x^{\sigma}}{\partial x^{\prime\mu} \partial x^{\prime\nu}} \frac{\partial x^{\prime\rho}}{\partial x^{\sigma}} - \frac{\partial x^{\sigma}}{\partial x^{\prime\mu}} \frac{\partial x^{\tau}}{\partial x^{\prime\nu}} \frac{\partial x^{\prime\rho}}{\partial x^{\lambda}} \Gamma_{\sigma \tau}^{\lambda} \\ &= \frac{\partial x^{\sigma}}{\partial x^{\prime\mu}} \frac{\partial x^{\tau}}{\partial x^{\prime\nu}} \frac{\partial x^{\prime\rho}}{\partial x^{\lambda}} \left( \tilde{\Gamma}_{\sigma \tau}^{\lambda} - \Gamma_{\sigma \tau}^{\lambda} \right) \end{aligned}$$

满足张量分量的变换规律，因此任意两个 Christoffel 系数之差是一个 $(1,2)$ 型张量的分量。

协变导数

协变导数的定义

函数的协变导数 设 $f$ 为光滑函数，$X$ 是向量场，定义其协变导数 $\nabla_X f \in C^\infty(M)$ 为

$$\nabla _X f = X f$$

我们可以计算局部坐标系下函数的协变导数。设 $\{x^\mu\}$ 为 $M$ 的局部坐标系，那么

$$\nabla _X f = X f = X^\mu \frac{\partial f}{\partial x^\mu}$$

这符合我们在欧氏空间中函数 $f$ 沿 $\boldsymbol{X}$ 方向的方向导数的印象，为 $\bm{X} \cdot \nabla f = (\bm{X} \cdot \nabla) f = X^\mu \partial_\mu f$ 。

向量场的协变导数 设 $V$ 为向量场，$X$ 是切向量场，其协变导数 $\nabla_X V \in \mathfrak{X} (M)$ 由联络的定义给出。

我们可以计算局部坐标系下向量场的协变导数。设 $\{x^\mu\}$ 为 $M$ 的局部坐标系，那么

$$\begin{aligned} \nabla_X V &= X^\mu \nabla_{\frac{\partial}{\partial x^\mu}} \left( V^\nu \frac{\partial}{\partial x^\nu} \right) \\ & = X \mu\left[V^{\nu} \nabla_{\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}}\left(\frac{\partial}{\partial x^{\nu}}\right)+\frac{\partial V^{\nu}}{\partial x^{\mu}} \frac{\partial}{\partial x^{\nu}}\right] \\ &= X^{\mu}\left(V^{\nu} \Gamma_{\mu \nu}^{\rho}+\frac{\partial V^{\rho}}{\partial x^{\mu}}\right) \frac{\partial}{\partial x^{\rho}} \end{aligned}$$

这和我们在欧氏空间中向量场 $\bm{V}$ 沿 $\boldsymbol{X}$ 方向的方向导数的印象有所出入。在欧氏空间中，只有后一项 $(\bm{X} \cdot \nabla) \bm{V} = X^\mu \frac{\partial V^\rho}{\partial x^\mu} \bm{e}_\rho$ 。而按照协变导数的定义，额外增加了 Christoffel 项。

余切向量场的协变导数 设 $\omega$ 为1-形式场，$X$ 是切向量场，定义 $\nabla_X \omega$ 如下：任给光滑向量场 $Y$，规定 $\nabla_X \omega$ 作用于其上的结果为

$$\nabla_X \omega(Y) = X(\omega(Y)) - \omega(\nabla_X Y)$$

则 $\nabla_X \omega$ 也是余切向量场，称为 $\omega$ 的协变导数。

/* 注：需要区分 $\nabla_X \omega(Y)$ 和 $\nabla_X [\omega (Y)]$ 的区别，前者是 $\nabla_X \omega$ 作用于 $Y$ 上，后者是 $\omega$ 先作用于 $Y$ 得到函数 $\omega(Y)$ ，再求函数的协变导数，即 $\nabla_X [\omega (Y)] = X(\omega(Y))$ 。因此 $\nabla_X \omega$ 还可以定义为 $\nabla_X \omega(Y) = \nabla_X [\omega (Y)] - \omega(\nabla_X Y)$ ，类似于 Leibniz 律。*/

我们可以计算局部坐标系下余切向量场的协变导数。设 $\{x^\mu\}$ 为 $M$ 的局部坐标系，那么

$$\begin{aligned} & \nabla_{X} \omega(Y) \\ =& x^{\mu} \frac{\partial\left(\omega_{\nu} Y^{\nu}\right)}{\partial x^{\mu}}-\omega_{\nu}\left(\nabla_{X} Y\right)^{\nu} \\ =& X^{\mu} \omega_{\nu} \frac{\partial Y^{\nu}}{\partial x^{\mu}}+X^{\mu} Y^{\nu} \frac{\partial \omega_{\nu}}{\partial x^{\mu}} -\omega_{\nu}\left(X^{\mu} \frac{\partial Y^{\nu}}{\partial x^{\mu}}+X^{\mu} Y_{\rho} \Gamma_{\mu \rho}^{\nu}\right) \\ =& X^{\mu} Y^{\nu} \frac{\partial \omega_{\nu}}{\partial x^{\mu}}-\omega_{\nu} X^{\mu} Y^{\rho} \Gamma_{\mu \rho}^{\nu} \end{aligned}$$

仍然额外增加了 Christoffel 修正项。

特殊地，取 $\omega = \mathrm{d}x^\rho$，$Y = \frac{\partial}{\partial x^{\nu}}$ ，$X = \frac{\partial}{\partial x^{\mu}}$ 可以得到

$$\nabla_\frac{\partial}{\partial x^{\mu}} \mathrm{d} x^\rho \left(\frac{\partial}{\partial x^{\nu}} \right) = -\Gamma^\rho_{\mu\nu} \qquad\nabla_\frac{\partial}{\partial x^{\mu}} \mathrm{d} x^\rho = -\Gamma^\rho_{\mu\nu}\mathrm{d} x^\nu$$

张量场的协变导数 设 $T$ 为 $(p,q)$ 型的张量场，$X$ 是向量场，定义 $\nabla_X T$ 如下：任给 $p$ 个 1-形式 $\omega_1,\cdots,\omega_p$ 和 $q$ 个向量场 $Y_1,\cdots,Y_q$ ，规定 $\nabla_X T$ 作用于其上的结果为

$$\begin{aligned} \nabla _X T (\omega_1,\cdots,\omega_p,Y_1,\cdots,Y_q) = & X( T (\omega_1,\cdots,\omega_p,Y_1,\cdots,Y_q) )- \sum_{i=1}^p T (\omega_1,\cdots,\nabla_X \omega_i, \cdots,\omega_p,\cdots,Y_1,\cdots,Y_q) \\ &- \sum_{i=1}^q T (\omega_1, \cdots,\omega_p,\cdots,Y_1,\cdots,\nabla_X Y_i,\cdots,Y_q) \end{aligned}$$

则 $\nabla_X T$ 仍然是 $(p,q)$ 型的张量场，称为张量场 $T$ 的协变导数。

由此观之，联络的概念 $\nabla : \varGamma (TM) \times \varGamma(E) \to \varGamma(E)$ 中的向量丛 $E$ 也可以推广为张量丛 $\otimes^{p,q} TM$。

我们可以计算局部坐标系下张量场的协变导数。设 $\{x^\mu\}$ 为 $M$ 的局部坐标系，那么

$$\begin{aligned} \nabla_\rho T^{\mu_1\cdots \mu_p}{_{\nu_1\cdots\nu_q}} &=\nabla_{\frac{\partial}{\partial x^{\rho}}} T \left(\mathrm{d} x^{\mu_1},\cdots,\mathrm{d} x^{\mu_p},\frac{\partial}{\partial x^{\nu_1}},\cdots,\frac{\partial}{\partial x^{\nu_q}}\right) \\ &= \partial_\rho T^{\mu_1\cdots \mu_p}{_{\nu_1\cdots\nu_q}} - \sum_{i=1}^p T \left(\mathrm{d} x^{\mu_1},\cdots,\nabla_{\frac{\partial}{\partial x^{\rho}}} \mathrm{d} x^{\mu_i}, \cdots,\mathrm{d} x^{\mu_p},\cdots,\frac{\partial}{\partial x^{\nu_1}},\cdots,\frac{\partial}{\partial x^{\nu_q}}\right) \\ &\quad\ -\sum_{i=1}^q T \left(\mathrm{d} x^{\mu_1},\cdots,\mathrm{d} x^{\mu_p},\frac{\partial}{\partial x^{\nu_1}},\cdots,\nabla_{\frac{\partial}{\partial x^{\rho}}} \frac{\partial}{\partial x^{\nu_i}},\cdots\frac{\partial}{\partial x^{\nu_q}}\right) \\ &=\partial_\rho T^{\mu_1\cdots \mu_p}{_{\nu_1\cdots\nu_q}}+ \sum_{i=1}^p T^{\mu_1\cdots \mu_{i-1}\sigma\mu_{i+1} \cdots\mu_p}{_{\nu_1\cdots\nu_q}} \Gamma^{\mu_i}_{\rho\sigma} - \sum_{i=1}^q T^{\mu_1\cdots \mu_p}{_{\nu_1\cdots \nu_{i-1}\sigma\nu_{i+1}\cdots\nu_q}} \Gamma^{\sigma}_{\rho\nu_i} \end{aligned}$$

协变导数的性质

1. 协变导数与张量积运算可交换：$\nabla_{X}(T \otimes S)=\left(\nabla_{X} T\right) \otimes S+T \otimes \nabla_{X} S, \quad \forall T,S \in \otimes^{p,q} TM$
2. 协变导数与外积运算可交换：$\nabla_{X}(\omega \wedge \eta)=\left(\nabla_{X} \omega \right) \wedge \eta+\omega \wedge \nabla_{X} \eta, \quad \forall \omega,\eta \in \bigwedge^{n}TM^*$
3. 协变导数与缩并运算可交换：$\nabla_X \circ C^\mu_\nu = C^\mu_\nu \circ \nabla_X$ ，其中 $C^\mu_\nu: \otimes^{p,q} TM \to \otimes^{p-1,q-1} TM$ 为缩并第 $\mu$ 个逆变指标和第 $\nu$ 个协变指标的缩并算子，例如 $C_1^2 [ \nabla_X Y \otimes Z \otimes \omega \otimes \mathrm{d}f ] = (\nabla_X Y)(\mathrm{d}f) Z \otimes \omega$

协变微分

张量场的协变微分 设 $T$ 为 $(p,q)$ 型的张量场，定义 $(p,q+1)$ 型的张量场 $\nabla T$ 如下：任给 $p$ 个 1-形式 $\omega_1,\cdots,\omega_p$ 和 $q+1$ 个向量场 $Y_1,\cdots,Y_q,X$，规定 $\nabla T$ 作用于其上的结果为

$$\nabla T(\omega_1,\cdots,\omega_p,Y_1,\cdots,Y_q,X) = \nabla _X T (\omega_1,\cdots,\omega_p,Y_1,\cdots,Y_q)$$

称 $\nabla T$ 为 $T$ 的协变微分。

黎曼几何

黎曼联络

黎曼联络 设 $(M,g)$ 为黎曼流形，$g$ 为黎曼度量，则满足下列条件的仿射联络 $\nabla$

1. 无挠：对于任意的光滑向量场 $X, Y\in\mathfrak{X}(M)$，都有 $T(X,Y)=0$ 或 $\nabla_X Y - \nabla_Y X = [X, Y]$
2. 度规相容条件：对于任意的光滑向量场 $X, Y, Z\in\mathfrak{X}(M)$，都有 $\nabla_Z [g(X, Y)]=g(\nabla_Z X, Y)+g(X, \nabla_Z Y)$

与黎曼度量 $g$ 适配，称为 Christoffel 联络、Levi-Civita 联络或黎曼联络。

给定 $(M,g)$ 上的坐标卡 $\{x^\mu\}$ 时，黎曼联络的适配条件还可以表述为

1. 无挠：$\Gamma_{\mu\nu}^\rho = \Gamma_{\nu\mu}^\rho$
2. 度规相容条件：$\nabla_\rho g_{\mu\nu} = \partial_{\rho} g_{\mu \nu}-\Gamma_{\rho \mu}^{\lambda} g_{\lambda \nu}-\Gamma_{\rho \nu}^{\lambda} g_{\mu \lambda}= 0$

黎曼几何基本定理 与 $(M,g)$ 适配的黎曼联络存在且唯一。

先证明一个引理：给定一个黎曼流形 $(M,g)$，如果对于任意光滑向量场 $Y$，都能计算出 $g(X,Y)$，那么 $X$ 唯一确定

证明引理的方法是，设有另一向量场 $\tilde{X}$ 使得对于任意的 $Y$ 有 $g(X,Y)=g(\tilde{X},Y)$ ，那么 $g(X-\tilde{X},Y) = 0 , \forall Y \in \mathfrak{X} (M)$ 。由度规的正定性立刻得到 $X=\tilde{X}$ 。

接下来考虑，对于给定的 $g$ 如何确定唯一的 $\nabla$ ，使之满足无挠和度规相容条件。

由于 $\nabla : \varGamma (TM) \times \varGamma(TM) \to \varGamma(TM)$ ，只要给出任意切向量场 $X,Y$ 对应的 $\nabla_X Y$ 值，即可唯一确定 $\nabla$ 。目前已知的条件有无挠性和三个度规相容条件：

$$Xg(Y, Z)=g(\nabla_XY, Z)+g(Y, \nabla_XZ)$$

$$Yg(Z, X)=g(\nabla_YZ, X)+g(Z, \nabla_YX)$$

$$Zg(X, Y)=g(\nabla_ZX, Y)+g(X, \nabla_ZY)$$

一式加二式减三式得

$$\begin{aligned} &\quad\ X g(Y, Z)+Y(g(Z, X))-Z g(X, Y) \\ &= g\left(\nabla_{X} Y+\nabla_{Y} X, Z\right)+g\left(Y, \nabla_{X} Z-\nabla_{Z} X\right)+g\left(X, \nabla_{Y} Z-\nabla_{Z} Y\right) \\ &= 2 g\left(\nabla_{X} Y, Z\right)-g([X, Y], Z)+g(Y, [X, Z])+g(X,[Y, Z]) \end{aligned}$$

由于 $Z$ 是任意的，最后一项含 $g\left(\nabla_{X} Y, Z\right)$ ，根据引理，$\nabla_X Y$ 的值便可以确定。

黎曼联络系数 黎曼联络系数可由下式给出

$$\Gamma_{\mu \nu}^{\rho}=\frac{1}{2} g^{\rho \sigma}\left(\partial_{\mu} g_{\nu \sigma}+\partial_{\nu} g_{\sigma \mu}-\partial_{\sigma} g_{\mu \nu}\right)$$

Proof

在黎曼几何基本定理证明过程中，我们得到

$$2g\left(\nabla_{X} Y, Z\right) =X g(Y, Z)+Y(g(Z, X))-Z g(X, Y) + g([X, Y], Z)-g(Y, [X, Z])-g(X,[Y, Z])$$

取 $X = \dfrac{\partial}{\partial x^{\mu}},Y = \dfrac{\partial}{\partial x^{\nu}},Z = \dfrac{\partial}{\partial x^{\sigma}}$ 并利用 $\left[\dfrac{\partial}{\partial x^{\mu}},\dfrac{\partial}{\partial x^{\nu}}\right]=0$ 立刻得到黎曼联络系数的表达式。

平行移动

平行移动 设 $X$ 是沿曲线 $C(t)$ 的向量场，若 $X$ 满足

$$\nabla_{\frac{\partial}{\partial t}} X =0$$

其中 $\hat{t} = \frac{\partial}{\partial t}$ 为曲线的切矢，则称向量场 $X$ 是沿曲线 $C(t)$ 平行移动的。

上述方程也可以在局部坐标系 $\{x^\mu\}$ 下进行描述，结果为

$$\frac{\partial X^\rho}{\partial t} + \Gamma^\rho_{\mu\nu} \frac{\partial x^\mu}{\partial t} X^\nu = 0$$

或者写成

$$\frac{\mathrm{d} (X^\rho \circ C)}{\mathrm{d} t} + \Gamma^\rho_{\mu\nu} \frac{\mathrm{d} (x^\mu \circ C)}{\mathrm{d} t} X^\nu = 0$$

测地线

测地线 若曲线 $C(t)$ 的切矢量 $\hat{t} = \frac{\partial}{\partial t}$ 是沿自身平行移动的，即

$$\nabla_{\frac{\partial}{\partial t}} \frac{\partial}{\partial t} = 0$$

则称曲线 $C(t)$ 为测地线，方程 $\nabla_{\frac{\partial}{\partial t}} \frac{\partial}{\partial t} = 0$ 称为测地线方程。测地线方程在局部坐标系 $\{x^\mu\}$ 下形式为

$$\frac{\mathrm{d}^2 (x^\rho \circ C)}{\mathrm{d} t^2} + \Gamma^\rho_{\mu\nu} \frac{\mathrm{d} (x^\mu \circ C)}{\mathrm{d} t} \frac{\mathrm{d} (x^\nu \circ C)}{\mathrm{d} t} = 0$$

自由粒子在弯曲时空中走测地线。